Quand trois coniques G, G', E sont inscrites dans
3oo TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES.
un quadrilatère j si une tangente roule sur la troisième E, et que par les quatre points oà cette droite rencontre les deux coniques C, C^ on mène les tangentes à ces courbes : les tangentes à la première rencontreront les tangentes à la seconde en quatre points dont le lieu sera une conique Z passant par les quatre points d'intersection de C et de C.
En effet, soient a, a' deux des points dans lesquels une tangente de E rencontre les deux coniques C, C : les tangentes en ces points se coupent en un point P qui détermine une conique S passant par ce point et par les quatre points d'intersection de C et de C Et d'après le théorème (435), les droites qui joignent les points de contact des tangentes menées par chaque point de cette conique Z aux deux courbes C, C, sont les tangentes à la conique E. Donc, etc.
Remarque. — Ce théorèine, qu'on peut considérer comme le réciproque du précédent, en est aussi le corrélatif.
437, Etant données deux coniques quelconques C, C, à chaque conique Z menée par leurs points d'intersection correspond une conique E inscrite 'dans leur quadrilatère circonscrit (435), Réciproquement, à une conique E correspond une conique Z, et une seule (436).
Il s'ensuit que la loi de correspondance entre les deux coniques Z et S est bien simple, et consiste en ce que : le rapport anharmonique de quatre coniques Z passant par les points d'intersection des deux G etC, est égal à celui des quatre coniques correspondantes E inscrites dans le quadrilatère circonscrit aux deux C, C (*).
(*) En effet, une conique 1 est déterminée par le point a où elle touche un côté du quadrilatère 1 C C I ; et la conique correspondante S est déterminée par sa tangente P6 menée en l'un des points d'intersection P des coniques C et C, et rencontrant en 6 une droite fixe quelconque L. Les deux l>oints V., 6 se correspondent donc de manière qu'à un point « ne corres-
CH. XVÏII.— CONIQ. CIRCONSC.OUINSC. AUNQUADRIL. 3oi Cela donne le moyen de déterminer immédiatement la conique S qui correspond à une conique Z.
En effet, quand la conique S coïncide avec C, la conique H coïncide avec C-, et de même quand 2 coïncide avec C, E coïncide avec C. Aux deux axes de symplose des coniques C, C\ considérés comme formant une conique Z, correspond une diagonale du quadrilatère circonscrit à C et C (436, Remarq.)^ considérée comme conique inscrite E. Ainsi Ton connaît à priori trois coniques E correspondantes à trois coniques S. Donc, par T égalité des rapports anharmoniques des deux systèmes de coniques, on détermine inunédiatement la quatrième conique S correspondante à une quatrième conique Z prise arbitrairement.
§11. — Quatre coniques circonscrites on inscrites à un quadrilatère.
438. Quatre coniques C, C, C", C" sont circonscrites à un quadrilatère^ de chaque point de la troisième C" on mène une tangente à chacune des deux premières-^ la droite qui joint les deux points de contact a, a' rencontre ces courbes en deux nouveaux points b, b', et la quatrième C' en deux points : mêlant Vun de ces points^ on a la relation
ma,mb ma' .mb'
ab • n'b'
• = const. = X.
En effet, soient D, D' les demi-diamètres de C et C, parallèles à la transversale aha! V , Puisque les deux couples de points a^ h\ a\ V et le point ni appartiennent à trois
pond qu'un point €« et réciproquement; co qui est le caractère des divisions homographiques. Quatre points a ont donc le même rapport anbarmonique que les quatre points correspondants 6, et conscquemnient, que les quatre ^ngentes P6. Donc quatre coniques S ont le mc^me rapport anharmor«ique (326) que les quatre coniques S (325).
3o2 TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES,
coniques circonscrites à un quadrilatère, on a
ma,mb ma'.mb' ..^^ ,.
~ô^- p,, ==con8t. (387, 1).
Mais on a aussi
Donc
ma.mb ma' ,mb'
7 — : TTi — == const,
ab a' b*
Ce qu'il fallait prouver.
439. Si Ton suppose que la constante X soit donnée, et qu'on ait à déterminer la conique C'' ou C, on est conduit aux deux théorèmes suivants, qui peuvent être considérés comme les réciproques du premier.
Quand trois coniques C, C, C' sont circonscrites à un quadrilatère, si Von demandé un point P, tel, que la droite aa' qui joint les points de contact de deux tangentes menées de ce point à QetàC, rencontre ces deux courbes en deux autres points b, b', et la troisième conique C" en un point m, satisfaisant ensemble à V équation
ma . mb ma' . mb'
ab ' a'b' '
dans laquelle X est une constante donnée : le lieu du point P sera une conique passant par les quatre points communs aux coniques proposées.
Car, si par un point satisfaisant à la question, on mène une conique C passant par les points d'intersection de C et C, tous les autres points de cette courbe satisferont aussi à la question, d'après le théorème (438).
CoKOLLAiRE. — Supposant 1= i, on donne au théorème cet énoncé :
Quand trois coniques C, C'^ C^'' sont circonscrites à un
CH. XVIII.— CONIQ.CIRCONSC. OUINSC. AUN QUADRIL. 3o3 quadrilatère, et qiûon mène, d'un point P les tangentes Pa, Pa' à C et G\ puis la droite aiSi^ qui joint les points de contact^ et rencontre ces courbes en deux noui^eaux points b, b', et C" en deux points m, m'5 si ton demande que ces deux points div^isent harmonique ment les deux cordes ab, a'b' : le lieu du point P sera une conique passant par les quatre points communs aux coniques proposées.
Car les deux points qui divisent harmoniquement les deux segments a&, a^b' sont déterminés par Téquation
ma.a'h' .bm= — ma' .ah.b'm (G. 5., 256) ou
ma.mb ma'.mb'
ab '• a'b' =""'»
qui est un cas particulier de Téquation précédente.
440. Étant données trois coniques C, C, C circon^ sentes à un quadrilatère^ et une constante "k, si Von mène de chaque point de Q" une tangente à C» et une tangente à C, et que sur la droite aa', qui joint les deux points de contact a, a', et qui rencontre les deux mêmes comqqes en deux autres points b, b', oh prenne les quatre points m déterminés par la relation
ma.mb ma' ,mb' ,
le lieu de ces points sera V ensemble de deux coniques passant par les quatre points communs aux proposées.
En effet, les deux points m déterminés sur une transversale avec le signe H- formeront une involution avec les deux couples û, b] a\ V (G. 5., 282), et par conséquent appartiendront à une conique ÇJ" passant par les points d'intersection des proposées (302). Pareillement les deux points déterminés sur la même transversale avec le signe — ^appartiendront à une autre conique C*^ passant aussi par
3o4 TRAH'É DES SECTIONS œNIQUES.
les quatre points d'intersection des proposées. Mais d'après le théorème (438), toute autre droite déterminée comme aa' rencontrera chacune de ces deux coniques en des points qui satisferont à Téquation. Ce qui déipontre la proposition.
CoKOLLAiRE. — Si l'ou supposc X= I, l'énoucé précédent se modifie comme il suit :
Étant données trois coniques C, C, Q" circonscrites à un quadrilatère, si de chaque point de C" on mène une tangente à chacune des deux C, C, et que sur la droite qui joint les deux points de contact a, a', et qui rencontre C etQ* en deux autres points b, b', on prenne les deux points m, m' qui dissent harmoniquement les deux segments aa', bb', et les deux points mi , m', qui div^isent harmoniquement les deux segments ab', ba' \le lieudes quatre points m, m', mj, m', est V ensemble de deux coniques qui passent par les points d'intersection des proposées.
En effet, il existe, comme ci-dessus ^439, Coroll.)^ entre les segments aa'^ bb' et ceux que forme le point m, la relation
ma ,a'h' . bin = — ma' . ah . b'm, ou
ma.mb ma' ,mb'
ab a'b'
Pareillement, les points qui divisent harmoniquement les deux segments ab' , ba\ donnent la relation
m^a.mxh m^a' *m^b'
ab • a'b' ~"^'-
Chacune de ces équations rentre dans Féquation générale
ma.mb ma' .mh' ab • a'b'
ce. xvin. — GOKiQ. aacoNS. ou msc. a un quadril. 3o5
Donc le lieu des poinu m, ml^ mi, m', est l'ensemble de deux coniques. c. q. f. pw /''
■- 1 441. Étant données quatre coniques C, C, CiJÇ"* inscrites dans un quadrilatère, si une tangente roule sur C^ et que par deux des points oà elle rencontre les coniques C, C, on mène à ces courbes les tangentes A, A'j puis, que par le point d^ intersection de ces tangentes on mène aux deux mêmes coniques les deux autres tangentes B, B', et à la conique Q"' une tangente M : on aura la relation
sin(M,A).sin(M,B) sin (M, A'). sin(M,B') .
. — TT — ïTî • . — 7-7-7 — ^#v =^ consl. = À.
sin(A,B) sin (A', B')
Ce théorème est le corrélatif du théorème (438) concernant quatre coniques circonscrites à un quadrilatère^ exprimé par la relation
ma»mb ma'.mb'
car celle-ci s'écrit
/ma ba\ fmb a*h\
^^ sous cette forme, qui ne renferme que des rapports anhar- 'ioniques, elle donne immédiatement
r sin (M, A) , siD(B,A) 1 rsi n(M, B ) ^ sin(A%B) "[ Lsin (M, A') * sin (B, A') J ' [sin (M, B') " sin (A', B') J "^ '
ou
sin (M, A), (sin M, B) ^ sin (M, A^) .sin (M, B^) ^ sin(A,BJ • sin (AS B')
Si Ton suppose que la constante A soit donnée, on
déterminera soit la conique C", soit C'^ Il en résulte les deux théorèmes suivants, qu^on peut regarder comme les réciproques du premier.
442. Lorsque trois coniques C^ C, C" inscrites dans un quadrilatère, et une constante X sont données, si Von mène une droite L de manière que, A et A' étant les tangentes en deux des points oà elle rencontre les coniques C, C^, et B, B' les deux autres tangentes à ces courbes ^ qui partent du point d'intersection des deux premières A, A\ enfin M une des tangentes de C"' passant par le même point, on ait toujours la relation
sin(M,A).sin(M,B) ^ sîd(M, AM.sin(M, B^) sin(A,B) • 8in{A', B') ~
la droite L en^Hsloppera une conique inscrite dans le quadrilatère circonscrit aux proposées.
Corollaire. — Si 1 = i , le théorème prend cet énoncé : Quand trois coniques C, C, C"^ sont inscrites dans un quadrilatère, et quon mène une droite L, de manière que, A et A' étant les tangentes en deuùc des points oà cette droite rencontre les coniques C, C, et M, M' les tangentes de G"^ menées par le point d'intersection de A et A\ ces tangentes M, M' soient conjuguées par rapport à C et à C : renyeloppe de la droite L sera une conique inscrite
dans le quadrilatère CC'G
443. Lorsque trois coniques C, C\ C inscrites dans un quadrilatère, et une constante X sont données, si une tangente roule sur Q" et que, A étant la tangente en un des points oit cette droite rencontre la conique Q^ et A! la tangente en un des points ou elle rencontre C\ on mène par le point d] intersection de A et A' les deux autres tan^ génies B^ W aux deux coniquckS, et les quatre df'okes TA,
CH. XVm. — CONIQ. CIRœNS. ou INSC. A UN QU ADRIL. 807 déterminées par V équation
sin(M, A).siii(M, B) sin(M, A').sin (M, B')
sin(A, B) sin(A',B')
ces droites M envelopperont deux coniques inscrites dans le même quadrilatère que les proposées, Co&OLLÀiRE. — Si X = I le théorème prend cet énoncé : Lorsque trois coniques C, C, C sont inscrites dans un quadrilatère y si sur Q" on fait rouler une tangente qui rencontre C et C, et que^ A et h! étant les tangentes à ces courbes en deux des points de rencontre, on mène par le point de concours de ces tangentes les deux autres tangentes B, B' aux mêmes coniques^ puis les deux droites M, M' qui divfisent harmoniquement les deux angles (A, A'), (B, B') : reni^eloppe de ces droites sera l'ensemble de deux coniques inscrites dans le quadrilatère circonscrit aux proposées.
§ in. — Quatre coniques C, C, Z, E, dont 2 passe par les points d^ intersection des deux C, C, et E est inscrite
dans le quadrilatère I C C 1 .
444. Lorsque trois coniques C, C, 2 circonscrites à un quadrilatère, et une conique H inscrite dans le quadrila-* tère circonscrit aux deux premières Cy C, sont données^ si une tangente roule sur S et rencontre C et C en deux couples de points a, bj a', b', et la conique 2 en deux points m: on a toujours la relation
ma.mh ma' .mh'
= const. = \ .
ab • a'h'
En effet, d'après le théorème (436), les tangentes à la conique C en ses points a, b rencontrent les tangentes à ÇJ en ses points a\ V^ en quatre points situés sur une conique C^
3o8 TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES.
qui passe par les points d'intersection de C et C. Donc,
d'après le théorème (438), l'équation a lieu.
445, Le théorème (444) conduit aux deux suivants, qui peuvent être considérés comme des réciproques de celui-là.
Étant données trois coniques C, C, 2 circonscrites à un quadrilatère, si l *on mène une droite, de manière que Von ait^ entre les deux couples de points a, b^ a', b', dans lesquels elle coupe les deux coniques C, C, et l 'un de ses points de rencontre m avec la conique 2, la relation
ma,mb ^ ma* ,mb'
X étant une constante : cette droite env^eloppera une conique 2 inscrite dans le quadrilatère circonscrit aux deux coniques C, C
En effet, une position de la droite détermine une conique E tangente à cette droite et inscrite dans le quadrilatère I C C I ; et toutes les tangentes à cette conique satisfont à la question, d'après le théorème (444).
446. Quand trois coniques C, C, E sont inscrites dans un quadrilatère, si Von fait rouler sur S une tangente qui rencontre C et C en deux couples de points a, b^ a', b' \ et qu!on prenne sur cette droite les points m déterminés par la relation
ma.mb ma'.mb'
ab • a'b'
dans laquelle X est une constante : ces points auront pour lieu géométrique deux coniques passant par les points d^ intersection de C et C\
Il y a deux manières de placer leS deux lettres a, i, ainsi que a', &', des coniques C et C, sur une tangente de S;
CH.XVIII. — CONIQ. CIRCONS. OU INSC. A UN QU ADRIL. 809 ce qui donne lieu aux quatre cas suivants : a, b^ a\ V-^ fl, i, b\ al\ i, a, a', V \^ &, a, &', a'. Et quant à la direction relative des segments ah^ a'V ^ qui résulte de là, on voit aisément que ces segments n'entrant dans Téquation proposée que par leur rapport, les quatre cas se réduisent à deux : celui où les deux segments ont la même direction, et celui où ils ont des directions diflerentes. Dans chacun de ces cas, les deux points m déterminés par Téquation forment une involution avec les deux couples a, h\ a\ V (G. 5., 282), Dès lors ces points appartiennent à une conique qui passe par les points d'intersection de C et C (302). D'après le théorème (444), toute langente de E détermine sur cette conique deux points qui satisfont à l'équation proposée, et consiSquemment à la question. Donc, etc.
Observation. — Si l'on donnait à X le signe — , avec la même valeur numérique, les deux coniques déterminées seraient les mêmes qu'avec le signe H- \ seulement la conique répondant au cas où les deux cordes ab^ a'b^oni la même direction serait celle qui répondait primitivement au cas où ces deux cordes sont de directions contraires.
447. Étant données trois coniques C, C, E inscrites dans un quadrilatère, et une conique Z qui passe par les points d^ intersection des deux premières C, C, si de cliaque point de cette conique on mène les couples de tan^ gentes A, B; A', B^ à C et C, et une tangente unique MàE : on aura la relation
sin(M, A).sin(M, B) ^ sin(M, A^).sin(M, B^) sin(A,B) • sin(A', B'J "" '
\étant une constante»
En effet, d'après le théorème (43S), les droites qui joindront les points de contact des tangentes A, B aux points de contact des tangentes A', B' envelopperont une co-
3io TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES.
nîque C" inscrite danslequadrilalère le C 1 . Donc, d'après
le théorème (441 ), Téquation a lieu.
448. SI dans ce théorème on suppose que la constante X soit donnée, on est conduit aux deux propositions suivantes.
Étant données trois coniques C, C, H inscrites dans un quadrilatère, et une constante X, si Von demande un point tel^ que les tangentes menées de ce point aux deux pre^ mières coniques étant A ^ B et A', B', et une des tangentes menées à la troisième conique étant M, on ait toujours la relation
sm(M,A).sin(M, B) , sin(M, A^).sin(M, B^) sin(A,B) • sin(A',B') "" '
le lieu du point demandé est une conique S qui passe par les quatre points d'intersection des deux C, C,
En effet, si après qu'on a déterminé un point satisfaisant à la question, on mène par ce point une conique Z passant par les points d'intersection des deux C, C\ tous les points de cette conique satisferont aussi à la question, d'après le théorème (447).
449. Lorsque trois coniques C, C, 2 circonscrites à un quadrilatère, et une constante 1 sont données, si de chaque point de Z on mène deux couples de tangentes A, B et A', W à C et à C, et les deux couples de droites M déterminées par V équation
sin(M,A).sin(M, B) . sin(M, A^).sin(M, B^) ^ sin(A,B) • sm(A',B') "" '
l'enveloppe de ces droites M sera l'ensemble de deux coniques inscrites dans le quadrilatère circonscrit aux deux C et G^
CH. XVni. — CONSÉQ. DES THÉORÈMES GÉNÉRAUX. 3i i En effet, on peut mener par iin point de la conique £ deux couples de droites M satisfaisant à la question, parce qu'il y a deux manières diflerentes de placer les lettres A, B, A', B' sur les tangentes de C et C Les droites M de cbaquc couple forment involutiou avec les deux couples de taDgentes de C et C; conséquemment on peut décrire deux coniques tangentes, respectivement, aux deux couples de
droites, et inscrites dans le quadrilatère [ C C^| (315).
Ces deux coniques satisfont évidemment à la question, d'après le théorème (447 ) .
§ IV. — Conséquences des théorèmes généraux,
450. Quand tmis coniques C,- C\ E sont inscrites dans un quadrilatère, si Vonjait rouler sur Vune E une tangente qui rencontre C et G en deux couples de points a, b ; a', b'; et quon prenne sur cette droite les quatre points m dont deux dix^isent liarmoniquement les deux segments ta', bb', et les deux autres les deux segments ab', ba' : /e lieu de ces quatre points sera l'ensemble de deux coniques passant par les quatre points d'intersection de C et C\ et dont les tangentes en ces points seront tangentes à la conique S.
En effet, m étant un des deux points qui divisent harmoniquement les segments aa\ bh\ on a la relation
ma,a'b\ bm^-- ma'.ab.b'm (G. «9., 256) ou
ma.mb ma'.mb'
ab • a'b'
Et pareillement, désignant par m^ un des points qui divisent barmoniquement les deux segments ab\ ba\ on a la relation
nua.b'a' ,bm^ = — m^b'.ab a' m^^
3i2 TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES.
ou
mxa.m^b mia'.mib'
De sorte que les deux points m et les deux nii sont déterminés par Féquation
ab • a'b'
Donc le lieu des quatre points est Tensemble de deux coniques qui passent par les points d^intersection de C et C^ (446).
Il reste à prouver que les tangentes menées de ces derniers points à la conique H sont tangentes en ces points aux deux coniques trouvées. .
Soit a un des quatre points d'intersection dcC et C'5 une des tangentes à H, menée par ce point, rencontre les deux courbes C, C en deux points coïncidents a, â^ et en deux autres points by h' : les deux points m, qui divisent harmoniquement les deux segments oa', bb'^ et qui appartiennent tous deux à une des deux coniques cherchées, sont l'un en a et Tautre en un point cd, déterminé par la relaab tab
non -T> = 77^
ab tdb'
Et les deux points mi qui divisent harmo^iquement les deux segments ab' et a'b^ el qui appartiennent à Tautre conique, sont tous deux en a ; c est-à-dire que cetteconique est tangente à la droite abl Ce qu'il fallait prouver.
Corollaire I. — Si la conique E est une diagonale du quadrilatère circonscrit à C etC (317), le théorème prend cet énoncé :
Si autour cfun sommet S du quadrilatère circonscrit à deux coniques C, C, on fait tourner une droite qui ren-^ contre ces courbes en deux couples de points a, b^ a', b' ; et quon prenne sur cette droite les deux points qui div^isent
CH. XVra. — CONSÉQ. DES THÉORÈAIES GÉNÉRAUX. 3i3 harmoniquement les segments aa', bb', et les deux points qui divfisent de même les segments ab', ba' : les quatre points ainsi déterminés ont pour lieu géométrique deux coniques qui passent par les quatre points d^ intersection de C et de C, et dont les tangentes en ces points con^ courent, quatre à quatre, au sommet S du quadrilatère Circonscrit, et au sommet opposé S'.
Ces deux coniques restent les mêmes, quel que soit celui des deux sommets opposés S, S' autour duquel on a fait tourner la transy^ersale,
ConoLLAiRE II. — Supposant que C et C soient des cercles, et H la droite limitée à leurs centres de similitude, on obtient cet énoncé :
Si autour d^ un centre de similitude de deux cercles C, C on fait tourner une droite qui les rencontre en deux cou^ pies de points a^ b; a', b', et quon prenne sur cette droite les deux points qui div^isent harmoniquement les segments aa', bb', et les deux qui dis^isent harmoniquement les segments ab', ba' : le lieu de ces quatre points est l'ensemble de deux cercles qui passent par les points i* intersection des deux C, Q^ \ les centres de ces cercles sont les centres de similitude de C et C \ et les tangentes de l'un d^eux, aux points d^ intersection de Cet C, passent par le centre de l'autre^ conséquemment les deux cercles se coupent à angles droits.
451. Lemme I. — Quand trois coniques C, C, 2 sont circon^ écrites à un quadrilatère, et qu 'une transversale les rencontre en trois couples de points a, b j a', b'^ et e, f; si les points e, f sont conjugués harmoniques par rapport à a. et a' : ils le seront aussi par rapport à h et h'.
En effet, on a par hypothèse
ca /a
3i4 TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES.
Mais les trois coùiqUes étant circonscrites à un même quadrilatère, les trois couples de points a, b; a' ^ h* et c,/8ont en involation (302); ce qu'on exprime par l'équation
ea.eh fo»fb
ea'.eb''^ fa!.fb''
Cette équation, en vertu de la précédente^ donne celle-ci :
eb __ fb eb''^ fb'^
Les points e^ f sont donc conjugués harmoniques par rapport 9,b et b'. c. Q. r« P,
Pareillement :
Lemme II. — Quand trois coniques C, C, S sont inscrites dans un quadrilatère^ et que d*un point on mène aux deux premières les couples de tangentes A, B; A', B'; si les tangentes A, A' appartenant à Cet à C, respectivement^ sont conjuguées par rapport à la troisième, conique S : il en sera de même des deux autres tangentes B, B';.
452. Étant données trois coniques C, C, S circonsctites à un quadrilatère^ si Von prend sur les deux premières, respectii^ement, deux points a, a' qui soient conjugués par rapport à la troisième : la droite aa' enveloppera une coniqueE
inscrite tout à la fois dans le quadrilatère f C C 1 9 et dans
le quadrilatère formé par les tangentes à^ en ses quatre points communs av^ec ces deux coniques C, C.
En effet, soit une droite L satisfaisant à la condition prescrite, c'est-à-dire, rencontrant les trois coniques en trois couples de points a, h-^ a', V et m, m' tels, que a et a' divisent harmoniquement le segment mm'. Les deux points i, i', d'après le premier des deux lemmes précédents, divisent aussi harmoniquement le segment mm'. Censéquemment, m, m' sont les points doubles de Tinvolution déterminée par les deux segments aa'^ hV (G. S. y 205) :
CH. XVÏII. — CONSÉQ. DES THÉORÈMES GÉNÉRAUX. 3i5 i) s'ensuit la relation
ma.a'b'.bm=:—ma'.ab.b'm (G.^., 192),
ou
ma.mb ma' ,mb'
ce qui prouve, d'après le théorème (445) , que la droite L en-
veloppe une conique inscrite dans le quadrilatère 1 CC
Il reste à prouver que chacune des tangentes de la conique Z, en ses quatre points communs avec les deux courbes G^ C, est une droite satisfaisant à la question. Effectivement, soit a un de ces points; la tangente de Z en ce point rencontre C en &) et Q* en deux points dont un coïncide avec a\ appelons-le Z/, Tautre sera a'. Les deux points m, m! coïncident aussi avec a, puisque la droite est, par hypothèse, tangente à la conique S. On peut donc dire que les deux points m, m/ divisent harmoniquement le segment aa'y aussi bien que le segment b'b. Ainsi la tangente satisfait à la question, et conséquemment la conique H la touche en quelque point, comme l'indique Ténoncé du théorème.
CoROLLÀiKE I. — Quand trois coniques C, C, 2 passent par quatre points , les tangentes de l'une Z en ces points, et les tangentes communes aux deux autres C, C, sont huit droites tangentes à une même conique S.
Le théorème (452)^ qui implique ce corollaire, exprime une propriété de cette conique E.
Corollaire II. — Si la conique D est l'ensemble des deux axes desymptose des coniques C, C (327), le théorème prend cet énoncé :
Étant données deux coniques C, C, si par le point de concours de leurs axes de symptose, on mène deux droites conjuguées harmoniques par rapport à ces axes, lesquelles rencontreront les deux coniques C, C respectii^ement
3i6 TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES.
en deux couples de points : les droites qui joindront les
points de Vune aux points de Vautre em^elopperont une
conique inscrite dans le quadrilatère 1 C C 1 ^^ tangente aux deux axes de symptose.
On reconnaît immédiatement qu'on peut inscrire dan§ le quadrilatère circonscrit à deux coniques C, C, une troisième conique tangente à leurs axes de symptose. Car les tangentes menées aux deux coniques, par le point de rencontre de ces axes, ont leur point de contact sur la polaire de ce point, et conséquemment forment avec ces axes une involution (300). Ce qui prouve, en vertu de (315), que
pai^ les coniques inscrites dans le quadrilatère [ C C^ | il
en est une qui touche à la fois les deux axes de symptose.
La proposition actuelle exprime une propriété de cette conique.
Corollaire III. — SiJes deux coniques C, C sont homothétiques, elles n'ont qu'un axe de symptose L déterminé, l'autre étant à l'infini 5 deux droites conjuguées harmoniques par rapport aux deux axes sont parallèles à L, et de part et d'autre à égale distance; de sorte que deux points a, a', dans lesquels les deux parallèles rencontrent^ les deux coniques, sont à égale distance de l'axe L. Lasdroite aa^ coupe les deux coniques en deux autres points i, b\ qui sont aussi à égale distance de L, parce que le^ deux couples a, a' et i, i' déterminent une involution (300) -— dont le point central est sur L (G. «S., 197). Il s'ensuit qu^ les deux cordes ab^ a'b' des coniques sont égales. Et réci — proquement, si l'on mène une transversale sur laquelle les deux coniques interceptent deux cordes égales ab, a!b^ ^ les extrémités de la première et celtes de la seconde sont, deux à deux respectivement, à la même distance de la droite L (G. 5., 195). Par conséquent, le corollaire précédent reçoit cet énoncé :
CH. XVm. — CONSÉQ. DES THÉORÈMES GÉNÉRAUX. 817 Quand deux coniques sont homothétiqueSy si Von mène des transs^ersales y sur chacune desquelles les deux coniques interceptent des cordes égales : ces droites em^eloppent une parabole inscrite dans le quadrilatère circonscrit aux deux coniques, et tangente à leur axe de symptose.
Corollaire IV. — Si les deux coniques C, C, dans le théorème (4S2), sont des cercles qui ne se rencontrent pas, il existe sur leur diamètre commun deux points e, y dont chacun a la même polaire dans les deux cercles (G. 5., 759) ; chacun de ces points peut être considéré comme un cercle infiniment petit qui passe par tes points d'intersection de C et C. Prenant un de ces points pour 2, et observant que deux points conjugués par rapport à un cercle infiniment petit sont situés sur deux diamètres rectangulaires, on en conclut ce théorème :
Etant donnés deux cercles C, C qui ne se rencontrent pas, si autour d^un des deux points dont chacun a la ïïiéme polaire dans les deux cercles, on fait tourner les deux côtés d'un angle droit, et qu'on joigne par des droites les points ou clmque côté rencontre le cercle C, oux points ou Vautre côté rencontre le cercle C : ces droites (au nombre de huit) sont toujours tangentes aune fnéme conique, inscrite dans le quadrilatère circonscrit aux deux cercles; et cette conique a Vun de ses foyers au point autour duquel tourne V angle droit.
Par suite, en vertu du théorème (436) : Les tangentes à Vun des cercles en ses points situés sur les côtés de l'an-gle droite coupent les tangentes menées au second cercle, par ses points situés sur les mêmes côtés, en huit points toujours situés sur un même cercle qui passe par les points ^ 'intersection [imaginaires) des deux cercles proposés,
