Au théorème (450) correspond celui-ci
Quand trois coniques C, C, 2 sont circonscrites à i quadrilatère^ si de chaque point de Z on mène les mples de tangentes A, B ef A', B', àC et C, et les qua^ e droites, dont deux dii^isent harmoniquement les deux igles (A, A'), (B, B'), et les deux autres les deux an- <ei (A, B'), (B, A') : ces droites em^elopperont deux co^
ques inscrites dans le quadrilatère [ C C | , et dont les
ihtts de contact ai^ec les côtés de ce quadrilatère seront rla conique Y».
Corollaire. — Si Ton prend pour la conique 2 deux rdes communes aux deux coniques G, C/, 1^ théorème énoncera ainsi :
Étant données deux coniques C, C, dont deux cordes mmunes conjuguées sont L, L', si de chuque point de une quelconque de ces droites on mène les couples d^ ngentes A, B ; A', B' aux deux courbes, et quatre droites B9it deux divisent harmoniquement les angles (A, A^) 1^ B^ et lés deux autres les angles (A, B'), (B, A') ; droites ens^eloppent deux coniques inscrites
$ àuadritatère 1 C Cl j et qui touchent les côtés det
rjs.v. . . ' ■ ■ '
ce quadrilatère aux points oà les deux cordes L, U ne
contrent ces côtés»
456. Supposant X = i dans le théorème (448), on \ conclut cet énoncé, corrélatif de (452) :
Quand trois coniques C, C, E sont inscrites dans i quadrilatère, si Von mène àCet à C deux tangentes j A' qui soient conjuguées par rapport as.: le lieu i point de rencontre de ces deux tangentes est une coniqi Z qui passe par les quatre points d'intei section des dei courbes C, C et par les quatre points ou la conique
touche les côtés du qiuidrilatère CC^sj.
CoROLLAïAE I. — Quand trois coniques sont inscrit dans un quadrilatère, les quatre points d'intersection t deux d^entre elles^ et les quatre points dans lesquels, troisième touche les côtés du quadrilatère, sont huit pain appartenant à une même conique.
Le théorème (456), dW résulte ce corollaire, exprin une propriété de cette conique.
CoROLLAïKE H. — Si la conique S (456) est la droite J mitée à deux ombilics conjugués de C et C, la conique , passe par ces points, et le théorème prend cet énoncé :
Étant données deux coniques , si Von demande u point tel, que deux tangentes A, A' menées de ce poù aux deux courbes soient conjuguées harmoniques pi rapport aux droites mçnées du même point à deux on bilics conjugués des deux coniques: le lieu de ce point e une conique qui passe par les quatre points d'interscê tion des deux proposées et par les deux ombilics»
On savait (363, CorolL) que par les quatre points d'il tersection de deux coniques et deux ombilics conjugué passe une conique. Le théorème actuel exprime une prpriété de cette courbe.
Corollaire IIL — Si les deux coniques sont des cercle
CB. XVm.— CONSÉQ. DES THÉORÈMES GÉNÉRAUX. 32 1 et qu'on prenne leurs centres de similitude pour les deux ombilics, la conique 2 sera un cercle passant par ces points. Donc :
Si sur la droite qui joint les centres de similitude de deux cercles 9 prise pour diamètre , on décrit un troisième cercle.: ce cercle passe par les points d'intersection, des deux proposés^ et deux tangentes menées de chacun de ses points à ces deux cercles, respectii^ement, dii^isent en rapport harmonique le segment compris entre les deux centres de similitude.
CoROLLÀiEE IV. — n résulte 4e cette propriété des deux tangentes, qu'elles sont également inclinées sur la droite menée du même point à Tun des deux centres de similitude (G* S. y 81). Il en est de même des deux autres tangentes menées du même point. On en conclut que les angles formés chacun par les deux tangentes d'un cercle sont égaux. Donc :
Étant donnés deux cercles : le lieu d^un point d^oii oH les voit sous deux angles égaux, est un troisième cercle qui passé par leurs points d^ intersection et par leurs cen* très de similitude.
457. Lorsque dans le théorème (456) on suppose que les deux coniques C, C/difièrent infiniment peuTune deTautre, et à la limite se confondent, on est conduit à cet énoncé :
Étant données deux coniques C,E, w' /'on demande un point tel, que les deux couples de tangentes menées aux ioniques j par ce point, forment un faisceau harmonique : ^ lieu de ce point est une conique qui passe par les. huit points où C et H touchent les quatre côtés du quadrilatère ^ui leur est circonscrit (*).
C*) M. Salmon, dans son exceUent Traité des Sections coniques (4® édi- ^c»ii^ page 291), est parvenu à une équation fort simple du lieu cherché.
3a2 TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES.
On a déjà vu (415, CorolL IV) que quand deux conique sont inscrites dans un quadrilatère, les huit points de cos tact des quatre côtés du quadrilatère sont sur une mèm conique. Le théorème actuel fait connaître une propriét de cette conique.
Remarque. — Si la conique H est une droite limitée deux points, on retrouve le théorème (212).
458. Le théorème (456) donne lîeu au suivant, en vert du théorème (435) :
Quand trois coniques C, C, H sont inscrites dans ui quadrilatère^ si Von mène aux deux premières deu: tangentes A, A' conjuguées par rapport à la troisième: l droite qui joint les points de contact env^eloppe une ce nique inscrite dans le même quadrilatère que les propo sées.
Résumé,
459. Les propositions de ce chapitre XVIII se rappor tent à des systèmes très-variés de sections coniques. Pou qu'on en voie mieux les caractères distinctifs, nous en pré senterons un bref résumé.
On considère :
Quatre coniques circonscrites à un quadrilatère : 438
Quatre coniques inscrites dans un quadrilatère: 441.
Quatre coniques C, C, 2, E dont 2 passe par les point
d'intersection de C et C, et E est inscrite dans le quadri
latère | ^ ^^ | : 444, 447,
Trois coniques circonscrites à un quadrilatère : 431 432, 435, 437, 439, 439 CorolL, 440, 440 CorolL, 44^
449, 451 Lemme 1, 452, 452 CorolL I, 454, 455.
Trois coniques^inscrites dans un quadrilatère : 433, 434 436, 437, 442, 442 CorolL, 443, 443 CorolL, 446, 448
450, 451 Lemme II, 456, 456 CorolL 1, 458.
ce. XVni.— CONSÉQ. des théorèmes généraux. 323 Deux coniques quelconques : 431 CoroU., 431 Récipr.,
m Coroll., 433 Récipr., 435 Rem., 450 Coroll. A
452 Coroll. II, 453, 455 Coroll., 456 Coroll. II, 457. Deux coniques homothétiques : 452 Coroll. III.- Deux cercles : 450 Coroll. II, 452 Coroll. IF, 453 Co-
roU. I et II, 456 Coroll III et IF.
