CHAPITRE XIX

œNlQUES AYANT UN DOUBLE CONTACT.

460. Rappelons quelques notions qui vont avoir des applications fréquentes.

1° On dit que deux coniques ont un double contact j réel ou in^aginaire, ou bien, qu'elles sont inscrites l'une à l'autre, lorsqu'elles ont deux points de contact, ces points pouvant être imaginaires (343, CorolL),

La droite sur laquelle sont ces deux points s^ appelle corde de contact^ et son pôle, qui est le même dans les deux coniques, pôle de contact.

' tP Quand deux coniques ont un double contact, les tangentes aux points de contact représentent une conique ayant avec ces courbes un double contact.

3^ La corde de contact représente aussi une conique ayant un double contact avec les proposées. Cette conique esl infiniment aplatie et a pour sommets les deux points de contact.

4° Enfin, le pôle de contact représente aussi une conique, infiniment petite, ayant un double contact avec les proposées (370, 2°).

461. Quand deux coniques ont un double contact^ les polaires d'un point quelconque Q se coupent sur la corde de contact. ^

Car ces polaires se coupent sur celle du point Q relative au système de deux cordes communes aux deux coniques (308). Que l'on prenne pour ces cordes communes celles qui se confondent avec la corde de contact (370, i®), la polaire se confondra aussi .avec cette corde. Donc, etc.

CH. XIX.— CONIQUES AYANT UN DOUBLE œNTACT. 3a5 G>ROixAiRE. — Quand deux points sont conjugués parrapport à deux coniques qui ont un double contact ^ Van d*eux est toujours situé sur la corde de contact. Car il est à rintersection des polaires de Tautre (103).

462. Lorsque deux coniques ont un double contact, les pôles d'une droite quelconque sont en ligne droite avec le pôle de contact.

Le pôle de contact des deux coniques proposées est une conique infiniment petite inscrite dans le quadrilatère circonscrit aux deux courbes (370, 2^). Les pôles d'une droite rdatifs k cette conique et aux deux proposées sont en ligne droite (323). Mais le pôle relatif à la conique infiniment petite est le point qui représente cette conique. Donc, etc.

Corollaire. — Quand deux droites sont conjuguées par rapport à deux coniques qui ont un double contact, Vune d* elles passe nécessairement par le pôle de contact.

463. Quand deux coniques ont un double contact, tout point de la corde de contact a la même polaire dans les deux courbes.

Car, dans chacune des coniques, la polaire d'un point G de la corde de contact passe par le pôle de contact, et par le point G' qui avec G divise harmoniquement la corde de contact (99, 4^)- Cette polaire est donc la même dans les deux courbes.

Réciproquement : Quand deux coniques ont un dou^ ble contact, toute droite menée par le pôle de contact a le même pôle dans les deux courbes, lequel est situé sur la corde de contact.

464, Lorsque deux coniques ont un double contact, si P^r les deux points de contact on fait passer une troisième conique quelconque, les cordes qu'elle intercepte dans les deux courbes concourent en un point de la corde ^^ contact.

3l6 TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES.

Car les trois coniques ont une corde commune qui est la corde de contact; et elles ont, deux à deux, trois autres cordes communes qui passent par un même point (380). Or une de ces trois cordes, celle qui appartient aux deux premières coniques, est la corde de contact. Donc, etc.

Corollaires. I. — Quand deux coniques ont un double contact^ tout angle dont les côtés passent par les deux points de contact, intercepte dans les deux courbes deux cordes gui concourent en un point de la corde de contact.

n. — Si les coniques sont deux hyperboles ayant les mêmes asymptotes, on dira :

Lorsque deux hyperboles ont les mêmes asymptotes^ tout angle dont les côtés sont parallèles aux asymptotes inter^ cepte dans les courbes deux cordes parallèles.

in. — Ce théorème s'applique à une hyperbole et à ses asymptotes considérées comme représentant une seconde hyperbole. Donc :

Deux droites parallèles aux asymptotes d*une hyper" bole interceptent dans la courbe et entre les asymptotes deux cordes parallèles .

Ainsi, aa\ bV (Jig. 129) étant des parallèles aux asymptotes d'une hyperbole, menées par deux points a, b de la courbe, le théorème exprime que les deux cordes abj alV sont parallèles.

Démonstration directe» Les deux points a, b étant sur l'hyperbole, on a l'égalité

Oa'.OS=bb'.Ob\ ou ^ = ^' (35),

qui devient, dans le parallélogramme alOUOf formé pa les asymptotes et leurs parallèles,

0^^^0V bb^ "^ aa' '

Cette proportion prouve que les deux cordes aJ, a!V su parallèles.

CH. XIX.— CONIQUES AYANT UN DOUBLE CONTACT. 827 465. On aperçoit immédiatement que ce théorème fournit une solution du problème suivant :

Inscrire dans un angle donné une corde de longueur donnée^ qui passe par un point donné.

Soient SL, SL' les deux côtés deTangle (mémejig.)^ et a' le point donné. Par ce point on mène à ces côtés des parallèles qui forment le parallélogramme a' OS a] et Ton décrit une hyperbole ayant pour asymptotes les deux droites Oa\ OL', et passant par le point a. Puis, on prend dans cette courbe, à partir du \K)mi a, une corde ab de la longueur donnée^ et par son extrémité b on mène, parallèlement à SL, une droite bb' qui coupe SL' en b'. La droite a'b' satisfait à la question.

Car cette droite est parallèle à ab (464, El) 5 par conséquent la partie i'c' comprise entre les parallèles Ai', aS est égale a a&, comme on se l'était proposé.

A partir du point a on peut placer, en général, dans Thyperbole, quatre cordes d'une longueur donnée ; le problème admet donc quatre solutions, dont deux évidemment seront toujours réelles, et les deux autres pourront être imaginaires (*).

466. Quand deux coniques ont un double contact^ si dans r angle formé parles tangentes aux points de contact, on inscrit une troisième conique^ les deux points de concours respectifs des deux autres couples de tangentes communes à cette courbe et à chacune des deux premières, sont en ligne droite av^ec le pôle de contact de celles-ci.

(*) Le problème se résout aussi, comme on sait, par la conchoïdede Nicomède. La solution au moyen de l'hyperbole a été donnée par Pappus dans MsCoUer/ioiu mathématiques (liv. IV, proposition 31). Ce géomètre parle d'ane hyperbole équilatère, parce qu'il applique la construction au problème ^ la trisection de l'angle, où les deux droites entre lesquelles on inscrit one corde de longueur donnée, sont rectangulaires. Mais sa construction «*t générale.

Ce théorème, qui est le corrélatif de (464), se démontre par des considérations analogues.

Corollaire, — On peut prendre pour la troisième conique une droite limitée à deux points situés sur les deux tangentes communes aux proposées.

467. Quand une corde commune à deux coniques a le même pôle dans les deux courbes, ces coniques ont un double contact sur cette droite.

En effet, les droites menées de ce pôle aux deux points des deux coniques situés sur la corde commune sont tangentes à ces courbes en ces points ; dès lors les deux coni> ques sont tangentes entre elles en ces mêmes points.

468. Quand le point de concours de deux tangentes (réelles ou imaginaires) communes à deux coniques^ a la même polaire dans les deux courbes, ces coniques ont un double contact sur cette polaire.

En eiSfet, les points d^intersection des deux tangentes communes et de la polaire sont les points où chacune des coniques touche les tangentes. Par conséquent les deux coniques sont tangentes entre elles en ces deux points.

469. Quand deux coniques C, C (Jig. i3o) ont un double contact (réel ou imaginaire) sur une droite ef, si par deux points m, m' de C on mène à cette courbe des tan^ gentes, qui rencontrent C en deux couples de points a, b et a', b' :

i^ Deux cordes aa', bV passent par le point de rencontre des deux droites, ef, mm' ;

2° Les deux autres cordes ab', ba' coupent mm' en deux points n, n', par lesquels on peut mener uHe conique tangente à ces droites y et ayant un double contact av^ec les deux coniques proposées en leurs points de contact e, f.

CH. XDL.— CONIQUES AYANT UN DOUBLE CONTACT. 829 En effet, les deux tangentes ah^ dV représentent une conique ayant un double contact .avec QJ sur la droite mni. Par conséquent, deux cordes communes à cette conique et i C, telles que aa* et hV^ passent par le point de rencontre des deux cordes de contact ef et mw! ( 415, CoroU. /). Ce qui démontre la première partie du théorèmel

La seconde partie est une conséquence inunédiate du théorème { 410, Coroll. II).

470. Quanddeux coniques CfC{Jig.iZi) ont un double contact, si de deux points m, m' de C on mène à C des tangentes qui forment le quadrilatère circonscrit abcd :

I® Une diagonale ac de ce quadrilatère passe par le pôle de contact P des deux coniques et par le pôle Q de mm,', relatif à C;

a? On peut mener par les sommets b, d du quadrila^ tère une conique ayant un double contact av^ec les deux proposées en leurs points de contact^ et dont les tangentes en h et à passeront par le point Q.

En effet, la conique C et la conique représentée «par la corde mml (460, S'') ont chacune un double contact avec C. Donc deux points de concours de leurs tangentes communes, tels que les sommets a, c du quadrilatère abcd^ sont situés sur la droite qui joint les deux pôles de contact P, Q (429, CorolLI)\ ce qui démontre la première partie du théorème. La deuxième partie est une conséquence immédiate du théorème (423, Coroll).

Remarque. — Ce théorème est le corrélatif du précédent.

471. Quand deux coniques [fig* i3a) ont un double contact, si par le pôle de contact S on mène une transversale qui rencontre la première en deux points a, b, et la seconde en deux points dont b! soit Vun^ on a tou-

33o TRATTÉ DES SECTIONS CONIQUES.

jours V équation

Sa a!a ^ i

-:^=X ou -,

X étant une constante.

C'est-à-dîre que a' et V étant les deux points de la deuxième conique, situés sur la transversale, on a pour l'un, a',

• Sa a' a __ SÏ*^"" ^

et pour l'autre, f,

Sa ^ h' a 2.

s'yVh'~"\

Démontrons d'abord que pour chaque transversale on a l'égalité

Sa «^B . fSa Va\ Sb'Vh^'^'' [sb'Vbj'

ou

\Sbl '^ a'b.b'i

En eflfet, les deux coniques sont circonscrites à un quadrilatère dont deux côtés opposés coïncident avec la corde de contact IF, et les deux autres sont les tangentes en I et I'. Le point S est donc le point de concours de ces deux côtés^ et conséquemment ce point est un des points doubles de l'involution déterminée par les deux segments ab^ a'U (300). Dès lors on a l'équation

aS aa^ab'

Maintenant, soit menée par le point S une seconde transversale qui rencontre les deux coniques en A, B et A', B .

CH. XIX.— CONIQUES AYANT UN DOUBLE CONTACT. 33 1 Ces deux courbes sont homologiques ; le point S étant le centre d'homologie, et la corde de contact II' Taxe d'homologie (363) : les points A, a correspondent aux points A', d \ de sorte que les cordes Aa, h! a' se coupent sur II'. Mais les droites Aa et B6 se coupent aussi sur IF (98, i^). Donc les trois cordes A a^ Bft, A' a' concourent en un même point de II'; et consëquemment les rapports anharmoniques des deux systèmes de quatre points S, a, £, a' et S, Â*, 6, A' sont égaux. Ainsi

Sa , a' a SA ^ A^A S6^fl'ô~'SB*A'B'

ou

Sa a'a

s-7 : "TT = const. c. q. f. o.

ao a à

Corollaire. — Si autour d^un point S on fait tourner une transifersale qui rencontre une conique en deux points a, b, et quon prenne sur cette droite les deux points m déterminés par Inéquation

Sa ma

Sb'J^" '

X étant un coefficient constant : le lieu de ces points est une conique ayant av^ec la proposée un double contact sur la polaire du point S.

L'équation détermine deux points, parce qu'il y a deux manières de placer les lettres a et h aux points d'intersection de la conique et de la transversale, et que le point m est différent dans les deux cas.

Remarques. I. — On peut donner au théorème un autre énoncé, et dire que l'on prend sur chaque transversale deux points m, m' dont l'un fait un rapport anharmonique donné A avec les trois points S, a^ 6, et l'autre avec les trois mêmes points pris dans l'ordre S, &, a.

332 TRAITÉ DES SECTIONS GOmQUES.

n« — Si au lieu de A on prend -ry la. conique construite reste la même.

472. Quand deux coniques ont un double contact, si de chaque point xa de la corde de contact L on mène deux tangentes A, B ^ l'une, et une tangente A' à Vawtre, on a la relation

sin (L, A) sîn (A', A) i ,

sin(L> B)'sin(A', B) ~" ^^ ^V

X étant une constante.

Ce théorème est le corrélatif du précédent.

CoROi/LAiRE. — Si par chaque point d^une droite L on mène à une conique deux tangentes A, B^ puis les deux droites M déterminées par l'équation

sinfL, A) sinfM^ A)

sm(L, B) 8m(M, B) '

ces droites em^eloppent une conique qui a un double contact avec la proposée, sur la droite L.

Il existe deux droites M, parce qu'il y a deux manières de placer les lettres A, B sur les deux tangentes menées à la conique de chaque point de L.

§ni.

473. Les cordes qui joignent deux à deux les points homologues de deux dii^isions homo graphiques sur une conique C^ em^eloppent une conique quia un double con^ tact avec la proposée; les points de contact sont les points doubles des • deux divisions .

Soient a^ a[ et i, V [fig. i33) deux couples de points homologues des deux divisions^ et e,/ les deux points doubles (225). Il existe une conique C^ tangente à C en e et/» et tangente à la droite aa'. Nous allons prouver que cette

CH. XIX. - œNIQUES AYANT UN DOUBLE CONTACT. 333 conique C est UDgente à la droite bl/. En effet, concevons qa'on mène à cette conique par le point b une tangente qui rencontre la conique C en un point i^, les deux droites ba' tiab" se couperont sur la droite de contact e/'(4G9, i*^). Mais les deux droites ba' et aV se coupent aussi sur la droite ©/"( 234). Donc la tangente bb" coïncide avec bb'. Donc la conique tangente à la corde aa' est aussi tangente a toute autre corde bb'^ ce', etc. c. q. f. d.

Réciproquement : Lorsque deux coniques C, C! ont un double contact, si une corde aa' de C roule sur C, ses extrémités a, dJ fctrment deux divfisions homographiques qui ont pour points doubles les points de contact des deux coniques, *

Celte réciproque est évidente.

Corollaire. — Si deux faisceaux homographiques ont pour centres deux points, ou le même point d^une conique, les cordes que les couples de rayons homologues interceptent dans la courbe enveloppent une autre coni-quoy qui a un double contact at^ec la proposée.

En effet, les rayons des deux faisceaux coupent la conique en des points qui forment deux divisions homographiques (228).

474. Si un angle de grandeur donnée tourne autour de son sommet situé sur une conique, les cordes que cet angle intercepte dans la courbe enveloppent une conique qui a un double contact avec la proposée.

Les deux points de contact {imaginaires) sont toujours les mêmes, quelle que soit la grandeur de t angle»

En effet, les deux côtés de Tangle forment deux faisceaux homographiques qui ont toujours les mêmes rayons doubles, quelle que soit la grandeur de Pangle (G. S., 181). Donc ces côtés rencontrent la conique en des points formant deux divisions homographiques qui ont les mêmes

points doubles (225), quelle que soit la grandeur de l'angle. D'où résultent, en vertu du théorème précédent, les deux parties du théorème énoncé.

Remarque. — La conique enveloppe des cordes interceptées par les côtés de l'angle, varie avec la grandeur de cet angle. Quand il est droit, on sait que les cordes interceptées passent toutes par un même point (14fl, I)* Ce point représente une conique infiniment petile qui a un double contact avec la proposée sur la même droite que les autres coniques. Ce point est donc le pôle de la droite (460, 4^).

475. Quand deux div^isions ho mo graphiques sont formées sur une conique y les tangentes aux points homologues se coupent sur une autre conique qui a un double contact avec la première^ les ^points de contact sont les points doubles des deux dii^isions.

Proposition corrélative de (473).

Réciproquement : Quand deux coniques ont un double contact, si le sommet d'un angle circonscrit à Pune glisse sur l'autre, les points de contact des deux côtés de P angle forment deux div^isions homo graphiques qui ont pour points doubles les points de contact des deux coniques.

Corollaire. — Si Von a sur deux tangentes fixes d*une conique, ou sur une seule tangente, deux divisions homographiques , les tangentes menées par chaque couple de points homologues des deux divisions, se coupent sur une conique qui a Un double contact avec la proposée.

En effet, les points de contact def ces deux séries de tangentes forment sur la conique deux divisions homographiques [Récipr. de 237 et 238).

476. Quand deux coniques C, C [fig* i34) ont un double contact, si le sommet a d'un angle circonscrit à G glisse sur C, les points d^ intersection m, m' des côtés de cet angle et de la conique C, forment deux divisions homo-

CH. XIX. — CONIQUES AYANT UN DOUBLE CONTACT. 335 graphiques^ qui ont pour points doubles, les deux points de contact de C et d.

La corde mm' env^eloppe une troisième conique qui a un double contact a^ec les proposées en leurs deux points de contact.

En effet, les deux points a, m forment deux divisions liomographiques qui ont pour points doubles les deux points de contact e, /*des deux coniques C, C (473, Hécipr.), D en est de même des deux points aeim\ Donc les divisions formées par les deux points m, m' sont^homographiques et ont pour points doubles les deux points e^f. Et par suite la corde mm' enveloppe une conique ayant un double contact avec la proposée en ces points (473). c. q. f. d.

477. Quand deux coniques C, C ont un double con^ tact, si le sommet d'un angle circonscrit à C glisse sur C, les traces des côtés de l'angle sur la corde de contact des deux coniques j Jorment deux dit^isions homo graphiques, dont les points doubles sont les deux points de contact des coniques.

En effet, les points de contact des deux côtés de Tangle forment sur C deux divisions bomographiques (475, Récipr.). Donc, d*après (235), etc.

Corollaire. — Deux coniques concentriques et homothétiques ont un double contact à Tinfini (376). Donc :

Quand deux coniques C, C sont homothétiques et con^ centriques, si le sommet d'un angle circonscrit à C glisse sur C, des parallèles aux côtés de cet angle menées par un point fixe forment deux faisceaux liomographiques dont les rayons doubles sont parallèles aux asymptotes communes aux deux coniques.

478. Quand deux coniques C, C ont un double con- ^ctj si le sommet d'un angle circonscrit à C glisse sur C, fe* côtés de cet angle rencontrent une tangente fixe de C