TRAITÉ DES SECTIONS COMIQUES

en deux points qui forment deux dii^isions homogiriphp^ gués, dont les points doubles sont les points de section de la tangente fixe par les tangentes aux deux coniques en leurs points de contact.

En effet, les points de contact des deux côtés de Tangle mobile forment sur G' deux divisions homographiques dont les points doubles sont les points de contact des deux coniques (475, Mécipr.). Donc ces côtés rencontrent une tangente fixe de C en deux points qui forment deux divisions homographiques dont les points doubles sont sur lés tangentes aux deux coniques «en leurs points de contact (237).

CoKOLLAiïLES. I. — Quand deux coniques C, C sont koniothétiques et concentriques, si le somniet d'un angle circonscrit à C glisse sur C, les côtés de cet angle rencontrent une tangente fixe ^de C en des points qui forment deux divisions homographiques dont les points doubles sont les points ou les asymptotes [réelles ou imaginaires), communes aux deux coniques^ coupent cette tangente fixe.

n. — Si les deux coniques sont des cercles, on enccmdut que :

Quand deux cercles C, C sont concentriques y si de chaque point de C on mène à C deux tangentes qui rencontreront une autre tangente fixe, en deux points : les rayons menés du centre à ces points feront entre eux un angle de grandeur constante (G. *$., 6S1).

479. Quand deux coniques C, C ont un double contact, si une tangente roule sur C, et que par les points où elle rencontre C on mène deux noui^elles tangentes à la conique C : les points de contact forment deux divisions homographiques ;

Et le point de concours des deux tangentes décrit une

>CH. XIX.— CONIQUES INSCRITES A DEUX CONIQUES. SS-j * troisième conique qui a un double contact avec les proposées en leurs deux points de contact.

Proposition corrélative de (476).

480. Quand deux coniques C, C ont un double contact, si une tangente roule sur C et rencontre CJ en deux points, les droites menées du pôle de contact des deux coniques à ces deux points forment deux faisceaux homo^ graphiques dont les rayons doubles sont les tangentes communes aux deux coniques.

Proposition corrélative de (477).

G>ROLLÂiRE. — Quand deux coniques C, C sont homothétiques et concentriques, si une tangente roule sur C et rencontre G' en deux points, les droites menées du centre des coniques à ces points forment deux faisceaux homographiques dont les rayons doubles sont les asymptotes communes aux deux courbes.

481 . Quand deux coniques C, C ont un double contact, une tangente qui roule sur C rencontre C en deux points tels, que les droites menées de ces points à un point ^xe de C^ forment deux faisceaux homographiques dont les rayons doubles passent par les points de contact des deux coniques.

Proposition corrélative de (478).

Corollaire. — Quand deux coniques C, C sont homothétiques et concentriques, si une tangente qui roule snr'C rencontre C en deux points^ les droites menées de ces points à un point fixe quelconque de C, forment deux faisceaux homographiques dont les rayons doubles sont parallèles aux asymptotes communes aux deux coniques.

§ IV. — Coniques inscrites à deux coniques,

482. Il existe, en général, trois séries de coniques ayant un double contact avec deux conique^ C, C, ou, en d'autres termes, inscrites à deux coniques C, C.

Soient L, 1/ deux axes de symptose de C et C; et P le point de concours de ces droites. Les cordes de contact d'une des trois séries de coniques doublement tangentes à C et à C, passent par P, et sont conjuguées harmoniques par rapport àL et L' (415, CoroU. J).

Les cordes de contact des deux autres séries passent, respectivement, par les deuic points de concours des deux autres couples d'axes de symptose de C et C, et sont conjuguées harmoniques par rapport à ces axes.

Quand les deux coniques C, C ont un ou deux points de contact, il n'existe que deux séries de coniques doublement tangentes à ces courbes.

C'est que les coniques C, C' n'ont alors que deux systèmes d'axes de symptose. A chacun de ces systèmes correspond une série de coniques ayant un double contact avec C et C,

Quand C etC ont un seul point de contact, les deux systèmes d'axes de symptose sont, d'une part, la tangente au point de contact et la corde qui joint les deux points d'intersection des deux courbes; et, d'autre part, les deax cordes menées de ces points au point de contact.

Lorsque G et C ont deux points de contact, les tangentes en «es points forment un priemier système d'axes de symptose; et la corde de contact, qui représente deux cordes communes coïncidentes, forme le second système. Les coniques doublement tangentes à C et C, qui correspondent à ce second système, touchent C et G en leurs deux ppints de contact. Et pour celles qui correspondent au premier système, les cordes de contact sont conjuguées harmoniques par rapport aux deux tangentes communes à C et Cf,

Enfin, lorsque les deux coniques C, G ont un contact du second ordre, eUes n'ont que deux axes de symptose : l'un est la tangente au point de contact, et l'autre est la conk qui joint ce point au point d'intersection des deux couri>es.

CH. X1X. — CX)KIQUES INSGRITCS A DEUXCWnQUËS. 339 Alors il n'existe qu'au système cle coniques ayant on double contact avec les proposées. L'un des points de contact est toujours le point d'osculation de celles-ci •

Observation. — Nous n'avons parlé, dans cette discussion, que des axes de symptose des coniques \ mais on conçoit que des considérations semblables, et corrélatives, ont lien k Tégard des ombilics. Ainsi, par exemple, les pôles de contact d'une conique doublement tangente à C et C sont situés sur Tune des trois droites qui joignent, chacune, deux ombilics conjugués de C et C, et sont conjugués harmoniques par rapport à ces deux ombilics (429, Coroll. I).

483. Quand trois coniques C, C, C" passent par quatre points situés deux à deux sur deux droites L, Vy cuise coupent en P, si une quatrième conique U est telle, que la polaire du point P relative à cette courbe coïncide avec la polaire de ce point reUuipe à (1^ G et G* (328) : les trois couples d'oxes de symptose communs àliietà C, G et C, respectivement, et le couple L, V sont en involutian.

Désignons par |l]G| les axes de symptose de U et de C qui passent par le point P (328) ^ et ainsi des autres^ Les trois couples d'axes de symptose des coniques U, C, C prises deux à deux, savoir |UC|, |UC^|, L, U, sont en involution (415). Il en est de môme de |UC|, |UC'| et L, L'. Donc les deux couples [UC"! et |UC| font partie d'une insolation à laquelle appartiennent les deux couples [UC| et li^Lt (G. aS., 196). c. Q. F. n.

CoROLLAi&E. — Si U a un double contact avec G et C, et si les cordes de contact passent par le point P, chacune d'elles représente, dans Pinvolution, deux droites conjuguées coïncidentes 5 on en conclut que :

Quand une conique V aun double contact avec deux ^^niqiies C, C, les noces de symptose de U et d'une conique C*, menée par les points d* intersection de C et Q\ sont

34o TRAITÉ DES SECTIONS œNIQUES.

conjugués hamuiniques par rapport aux deux cordes de contact de U.

484. Nous désignerons par U, U', U'^v-'i des coniques d'une même série, doublement tangentes à deux coni^es C, C; et par L, L' les axes de symptose de celles-ci, qui déterminent cette série (482). On a ¥u que les huit points de contact de deux coniques U, U' sont sur une même conique (415, Corail. III).

Réciproquement : Toute conique V, menée par les quatre points de contcLCt d'aune conique U, passe par les quatre points de contact d^une autre conique de la même série.

En effet, la conique V coupe C et C aux quatre points de contact de U, et en quatre autres points. Un de ces derniers points détermine une conique U', doublement tangente à G et C(415, CoroU. I^Récipr.). Les points de contact de U'et ceux de U sont sur une même conique, comme nous venons de le dire. Cette courbe, ayant cinqjpoints communs avec V, n'est autre que V. Donc, etc.

Nous désignerons par V, V, . . . , des coniques passant chacune par les huit points de contact de deux' des coniques U, U^,... ou simplement par les quatre points de contact d'une de ces courbes, ce qui revient au même.

divertissement: En parlant des axes de symptose, soit des coniques U, U',..., soit des coniques V, V,..., prises deux à deux, nous entendrons toujours les deux axes de symptose qui passent par le point de concours dès axes de symptose L, L' de C et C

485. Les axes de symptose de deux coniques V, V sont conjugués harmoniques par rapport à h et \J.

En effet, V passe par les quatre points de contact d'une conique U •, et V par les quatre points de contact d'une conique U'. Ces huit points sont sur une même conique 2

CH. XIX.— œNIQUES INSCRITES A DEUX CONIQUES. 34 1 (415, CorolL III). Le» trois couples d'axes desymptose des trois coniques Y, V et Z sont en involution (4t5). Les axes de symptose de Y et Z sont les cordes de contact de U, et ceux de Y' et 2 sont les cordes de contact de U'. Or L et Tu sont conjugués harmoniques par rapport à chacun de ces deux couples (415, Coroll, /). Donc L et \J sont aussi conjugués harmoniques par rapport au troisième couple, savoir, les axes de symptose de Y et Y', c q. f. d.

Sgolie. — La démonstration reste la même, si l'on substitue aux deux coniques Y et Y', ou à Tune seulement, des coniques U, U'^ ainsi nous dirons que :

Les axes de sjmptose^ soit de deux coniques Y et U, soit de deux coniques U et U', sont conjugués harmoniques par rapport à h et L'.

486. Toutes les coniques Y, Y', Y", . • ., menées par un point I, ont trois autres points communs.

En eflet, toutes ces coniques ont, deux à deux, un axé de symptose commun, qui passe par le point I, et conséquemment un second axe de symptose commun qui est le conjugué harmonique du premier, par rapport à L et L' (485). Donc, etc.

Réciproquement : Toute conique W, menée par les quatre points d^ intersection de deux coniques Y et Y', est une conique Y'^.

En effet, soit a un des points d'intersection de Wet de C. Une conique U" est tangente à C en ce point a*, et la conique Y'^, menée par les quatre points de contact de U'^ et par un des quatre points d'intersection de Y et Y', passe par les trois autres, ainsi qu'il vient d'être démontré. Cette conique a donc cinq points communs avec W, et conséquemment se confond avec celle-ci. Donc, etc.

ScoLiE. — Le théorème et la réciproque s'appliquent aux cas où l'on remplace une conique Y par une conique U,

en deux points qui forment deux divisions homogjtiphmques, dont les points doubles sont les points de section de la tangente fixe par les tangentes aux deux coniques en leurs points de contact.

En effet, les points de contact des deux côtes de Tangle mobile forment sûr C deux divisions homographiques dont les points doubles sont les points de contact des deux coniques (47S, Récipr.). Donc ces côtés rencontrent une tangente fixe de C^ en deux points qui forment deux divisions homographiques dont les points doubles sont sur les tangentes aux deux coniques «en leurs points de contact (237).

Corollaires. I. — Quand deux coniques C, C sont honiothétiques et concentriques, si le somniet d'un angle circonscrit à C^ glisse sur C, les côtés de cet angle rencontrent une tangente fixe ^de C en des points qui forment deux diyfisions liomo graphiques dont les points doubles sont les points où, les asymptotes (réelles ou imaginaires), communes aux deux coniques^ coupent cette tangente fixe.

II. — Si les deux coniques sont des cercles, on encoi»clut que :

Quand deux cercles C, C sont concentriques y si de chaque point deC on mène à C deux tangentes qui rencontreront une autre tangente fixe, en deux points : les rayons menés du centre à ces points feront entre eux un angle de grandeur constante (G. *$., 6S1).

479. Quand deux coniques C, C ont un double con' tact, si une tangente roule sur C, et que par les points où elle rencontre C! on mène deux noui^elles tangentes à la conique C : les points de contact forment deux divfisions homographiques y

Et le point de concours des deux tangentes décrit une

CH. XIX.— CONIQUES INSCRITES A DEUX CONIQUES. 337 troisième conique qui a un double contact as^ec tes proposées en leurs deux points de contact.

Proposition corrélative de (476).

480. Quand deux coniques C, Q' ont un double con^ tact, si une tangente roule sur C et rencontre C en deux points, les droites menées du pâle de contact des deux coniques à ces deux points forment deux faisceaux homo" graphiques dont les rayons doubles sont les tangentes communes aux deux coniques.

Proposition corrélative de (477).

Corollaire. — Quand deux coniques C, C sont homo^ thétiques et concentriques, si une tangente roule sur C et rencontre C en deux points, les droites menées du centre des coniques à ces points foiment deux faisceaux homo graphiques dont les rayons doubles sont les asymptotes communes aux deux courbes.

481 . Quand deux coniques C, C ont un double contact, une tangente qui roule sur C rencontre C en deux points tels, que les droites menées de ces points à un point fixe de CJ forment deux faisceaux homo graphiques dont les rayons doubles passent par les points de contact des deux coniques.

Proposition corrélative de (478).

Corollaire. — . Quand deux coniques C, C sont homothétiques et concentriques, si une tangente qui roule surC rencontre C en deux points^ les droites menées de ces points à un point fixe quelconque de C, forment deux faisceaux homo graphiques dont les rayons doubles sont parallèles aux asjrmptotes communes aux deux coniques.

§ IV. — Coniques inscrites à deux coniques.

482. Il existe, en général, trois séries de coniques ayant un double contact avec deux conique^ C, C, ou, en d'autres termes, insentes à deux coniques C, C