TRAITÉ DES SECTKMSS CONIQUES

par H', parce que le poiat P a la même polaire dans toutes les coniques. Cette courbe coupe S en quatre points a, «i, A, Aj-, S' en quatre points ci^ a,, A', i',, et S'' en quatre points a'^<, h"^ b\.

Les trois points a, a', a" sont tels, que par a et a' passe une conique U tangente à S et à S' (486, Récipr.) -, par a et a" une conique Ui tangente à U et à S'^ ; et par a! et a" une conique Ut tangente à S' et à S*. On aurait donc trois coniques se touchant deux à deux en deux points, sur trois droites concourantes en un même point. Car les deux courbes U, Ui ont un double contact sur aa^^ et la courbe Us aurait avec cliacune d'elles un double contact, sur les droites a'd^ et a"€i^ respectivement. Ce qui n'est pas possible. Effectivement les deux coniques U, Ui ayant un double contact, il n'existe que deux séries de coniques ayant un double contact avec chacune d*elles *, les unes sont tangentes en a et a\ et les autres ont pour cordes de contact des droites passant par le point de rencontre des tangentes en a et cé^ et conjuguées harmoniques par rapport à ces tangentes (482).

On conclut de là que les trois coniques U, Ui, Uj n'en font qu'une, qui a un double contact tout à la fois avec les trois proposées S, S', S''.

Les trois points 6, h\ b" déterminent semblablement une seconde conique satisfaisant aux mêmes conditions.

Donc, etc.

491. Les coniques V, V',..., et U, AJ^..*^ formées au moyen de deux coniques C, C, peui^nt l'être semblablement au moyen de deux autres coniques Ci, C\ ; celles-ci passent par les quatre points d^ intersection de C et G. Il existe une infinité de systèmes de deux telles coniques

Que l'on prenne trois coniques V, V, 'V'^ Il existe deux coniques Cj, C, doublement tangentes à chacune de ces

CH. XIX. -CONIQUES INSCRITES A DEUX CONIQUES. 345 courbes (490). Ces deux coniques satisfont à la question. En effet, toutes les coniques formées au moyen des trois V, V, y" comme il a ëlé dit (489), appartiendront au système de Ci et C\ , aussi bien qu'au système C et G* Donc, etc.

ScOLiE. — On déduit de là cette conséquence importante : les coniques V, V'^..., auxquelles conduit la considération des coniques qui ont un double contact avec deux coniques données C, C, ne sont pas autre chose que celles que l'on forme, par la construction indiquée (489), au moyen de trois coniques primitives V, V, V"^ satisfaisant à la seule condition qu'un certain point ait la même polaire dans les trois courbes. '

Pôles et polaires relatifs ^u système des coniques U, U^....

492. Chaque conique U est déterminée par son pôle de contact u avec la conique C.

Tous ces pôles sont sur la polaire U du point d'intersection P des deux axes de symptose L, L' (482, Obs.).

Chaque conique U rencontre une droite fixe D en deux points or, a/. // existe entre le pointu^ qui détermine la conique U, et ces points de rencontre ^ une relation telle que

u et X représentant les distances des points u et :r: à deux origines fixes, prises sur les deux droites II et D.

En effet, a un pœnt u il correspond une conique U, et par suite deux points x^.et à un point x correspondent deux coniques U, U', passant par ce point, et par. conséquent deux points u. Ainsi les abscisses u et x doivent avoir une relation dans laquelle elles entrent au second degré. Le terme au' x' se troui^e nécessairement dans cette relation^ t!ar si le pôle de contaot u est pris à Tinfini, Téquation