TRAITÉ DES SECHONS CONIQUES

écrite sous la formç

seréduiti

et, puisque les racines de cette équation déterminent les deux points d'intersection d'one conique U et de la droite D, il faut qu'elle soit du second degré; ce qui prouve que le coefficient a n'est pas nul.

493. Les polaires d^un point, relatii'es aux coniques Uy U', etc., enveloppent une conique.

Il suffit, de prouver que par un point Q', pris arbitrairement, il ne passe que deux polaires, c'est-à-dire deux tangentes de la cQurbe cherchée.

Soit Q le point dont on prend les polaires. Chaque conique coupe la droite QQ' en deux points ar, a/. Pour que la polaire du point Q passe par Q', il fauttjue or, a/ soient conjugaés harmoniques par rapport à Q et Q'. Soit O le

milieu de QÇ^ : il faut qu'on aîî Ox.Oa/ = OQ . Supposons que l'origine prise sur la droite D, dans l'équation ci-dessus, soit ce point O, On doit donc avoir

^ ^ , ^ — = OQ = X%

(û''— ûV)a^ -+■(*''— ^X')i« H- (o" — cV) = o. .

Cette équation détermine deux valeurs de u^ et par suite deux coniques U qui satisfont seules à la question. Il n'existe donc que deux coniques telles, que les polaires du point Q passent par un point donné Q'. g. q* f. n.

Remarque. — Quand le point Q est pris sur une des droites L^ L', la conique enveloppe des polaires se réduit k un point Q situé sur l'autre droite.

En effet, les polaires d'un point Q de L, relatives à deux

CH. XIX.— CONIQUES INSCaiTES A DEUX GOIflQUES. 347

coniques U, V\ se coupent sûr la polaire relative à leurs axes de symptose (308); or ceUe-ci est la droite L^ (485, Scolie), Donc, etc.

Ou démontre de même, en vertu de (485), que les polaires d'un point Q de L, relatives aux coniques V, VV-m passent toutes par l^ même point Q[ de\J,

On conclurait de là que toutes les copiques Y menées par un pmnt de L sont tangentes entre elles >en ce point, et en leur second point commun, si cela n'avait déjà été démontré (487, CoroU. ).

494. Les pôles d^une droite, relatifs aux coniques U, U',.'.? sont sur une conique.

Ce théorème est le corrélatif du précédent, et se démontre par des considérations analogues.

Remarque, — Quand la droite donnée passe par l'an des ombilics S, S' des deux coniques C, Ç', le lieu de ses pôles est une droite qui passe par l'autre ombilic.

Plus généralement : Le lieu des pôles d^une dtoite me* née par un ombilic de C et C, relatifs à toutes les coniques inscrites dans les quadrilatères formés respectivement par les quatre tangentes de chaciine des coniques U, U',..en leurs points de contact avec C et C, est une droite qui passe par l 'autre ombilic ( * ) .

Corollaires des théorèmes précédents.

495. On peut supposer dans tous les théorèmes de ce paragraphe que chacune des coniques G, Csoit Tensemble de deux droites ou une seule droite limitée à deux points. Alors il n'existe que dei|x sériesde coniques ayant un double

(*) Les coniqaes qui ont un doubla contact htcc deux coniques 0, C donneraient lieu à un très-(prand nomhre de propriétés que nous ne démontrerons point ici, parce qu'elles découleront comme conséquences, d'une théorie générale des systèmes de coniques assujetties à quatre conditions <!uelconqiiefi, qui se trouvera dans la seconde Partie de cet OuTrage.

348 TRAITÉ DES SECTIONS CONÏQUlÈS.

contact aVec'C et C^ ou seulement une seule. Il en fësùlté^

divers tHéorèmes, Sont il suffira dé donner l'énoncé.

I. — Dans une sjstème de coniques tangentes à deux droites^ et ayant toutes un double contact auec une conique Ç : les polaires- dhin point enveloppent deux coniques^ et les pôles d 'une droite sont sur deiix autres coniques,

11.--^ Dans un système de coniques qui passent par deux points et ont toutes un double âontact av^ec une coni^ que C : les polaires d'un poiht em^eloppent deux coniqïies; et les pôles d^unç droite sont sur deiix autres coniques,

III. — Dans un système de coniques qui passent par deux points et sont tangentes à deux droites : les polaires d'un poirit env^eloppent deux coniques^ et les pôles d'une droite sont sur deux autres coniques.

Chacun de ces trois énoncés résulte des théorèmes (493) et (494).

Quatre coniques inscrites ou circonscrites à un quadrilatère.

Vf .-^Lorsque quatre coniques sont inscrites dans un quadrilatère ^ les quatre points d^ intersection de deux de ces courbes et les quatre points d^ intersection des deux autres y sont huit points d'une même conique [4SI ^ Scolie) ,

CoROLLAinE. — Prenant pour Tune des coniques une diagonale du quadrilatère, on en conclut que :

Quand trois coniques C, C, C sont inscrites dans un quadrilatère, on peut mener par les points d'intersection de C et C trois coniques ayant un double contact avec C"; les cordes de contact sont les diagonales et la droite qui joint les points de concours des côtés opposés du quadrilatère,

V. — Lorsque quatre coniques sont circonscrites à un quadrilatère, les tangentes communes à deux de ces courbes , et les tangentes communes aux deux autres y sont huit tangentes d'une même conique, (Corrélatif du précédent.)

CH. XIX. — DOUBLE COIiïAGT. PROBLÈMES. 349 Corollaire. — Prenant pour Vumq des coniques deux

côtés opposés (réels ou imaginaires) du quadrilatère, on

en conclut que : • •

Lorsque trois coniques G, Gj C passent par les quatre

sommets d'un quadrilatère K, on peut inscrire dans le

quadrilatère [ Ç Ç/ [ trois coniques ayant un double con^

tact ai^ec ÇI^\ les pôles de contact sont les points de concours des côtés opposés et des diagonales du quadrila" tère K.

Théorèmes corrélatifs.

496. li eicistcdes tbéotèmes corrélatifs de tous les tbéo^ rèmes généraux que nous avons démontrés, concernant les coniques qui ont un double contact avec deux coniques C, G. Dans ces théorèmes corrélatifs, on considère les deux ombilics de C et C, au lieu de leurs axes de symptose L, L'; et les coniques inscrites dans les quadrilatères formés par les quatre tangentes conimunes à chaque conique U et aux-deux C et C, au lieu des coniques V, Y, Les énoncés de ces théorèmes et leur démonstration directe n'ofiFriront aucune difficulté. Nous nous diispenserons dé les donner.

Problèmes*

497. L — Alener par deux points a, b une conique qui ait un double contact auec une conique C^ et dont le pôle de contact soit sur une droite L. ^ .

Par les deux points a, b on mène à C des tangentes formant un quadrilatère circonscrit, dont les diagonales ren^ CQnt.rent la droite L en deux points. Chacun de ces points peut êtrç pris pour le pôle de contact d'une conique passant par a, b (470, i^)« Ainsi la question admet deux solutions.

Autrement. La droite ah rencontre la conique C en deux points a\ b\ Qu'on prenne les deux points Q, Q'qui divisent harmoniquement les deux segments ab^ clb\ et qui

35o TRAITÉ DES S£GTI(»IS €ONIQUES.

sont ainsi conjiigaés par rapport à C et à la conique cbrerchée : la cordede contact des deus: courbes passera par l'un ou par l'autre de ces points (461, CorolL)i CoBséqnemment les polaires de ces deux points relatives à C, coupent la droite L eu deux points qui sont les pôles de ccmuct des deux coniques satisfaisant à la question.

n. — Pécrire une conique tangente à deux droites et ayant un double contact avec une conique donnée C, de manière que la corde de contact passe par un point donné P.

Les deux droites données coupent C en quatre pointsqui sont les sommets d'un quadrilatère inscrity ayant ces droites pour diagonales. .

La droite menée du point de concours de deux côtés opposés de ce qiudrilatère au point P, est la corde de contact d*une conique satisfaisant à la question (469, i®)^ Ainsi la question admet deux solutions. .

jiutrement* Soient A, Blés deux droite données, et A', B' les tangentes de C, menées par leur point de jrencontre. Qu'on prenne les deux droites. Q, Q' conjuguées harmoniques par rapport aux deux couples de droites A, B; A', B', et dès loTs conjuguées par rapport à la conique C et à la conique cherchée.

Le pôle de contact de C et de la conique cherchée se trouve sur Tune de ces, droites (462, CoroU.). Par conséquent la corde de contact passe par Tun ou par Tautre des pôles de ces deux droites, relatifs à la conique C. Les drmtes qui joignent le point donné à ces pôles sont donc les cordes de contact des deux coniques qui résolvent la question.

m. -^ Mener pat. deux points a, b, une conique qmmt un contact du troisième ardre aueo une conique C.

On cherche sur la droite ah (comme ci-desâus, I) lea deux points Q, Q'. Chaque droite menée par l'un de ces points est la corde de contact d'une conique passant par a et par A.

CH. XIX. - DOUBLE œNTACT. PROBLÈMES. 35i Consëquemment les tangentes de C, menées des points Q et Q', déterminent les points de contact de qnatre eoni-i ques satisfaisant à la question.

IV. — Mener une conique tangente à deux droites A, B et ityant un contact du troisième ordre avec une conique C.

On cherche, comme dans le problème II, les deux droites Q, Q'. Tout point pris sur une de ces droites est le pôle de contact d'une conique tangente auir droites A, B et ayant un double contact avec C. Conséquemment les quatre points d'intersection de ces droites et de la conique C sont les points de contact de quatre coniques satisfaisant à la question.

V. — Étant donnés une conique et trois points, décrire une autre conique qui passe par ces points, et qui ait un double contact avec la proposée.

Soient û, i, c les trois points : il suffit de déterminer le pôle de contact de la conique demandée et de la conique proposée. Ce point est situé sur une diagonale du quadrilatère formé par les tangentes à cette conique, menées par les deux points 12, b (470, i®). Il est de même sur une diagonale du quadrilatère formé par les tangentes menées des points a et c. Il s'ensuit que chacun des quatre points d'intersection des deux diagonales du premier quadrilatère et des deux diagonales du second, satisfera à la question. Aînsi le problème est résolu, et admet quatre solutions.

Autrement. On construit les cordes de contact des coniques cherchées. Pour cela, on prend sur ab les deux points Q, Q', comme au problème I; et sur a^, les deux points Qi, Q'j déterildinés semblablement. Le» quatre droites qui joignent les points Q, Q' aux points Q, , Q'^ sont les cordes de contact des quatre coniques cherchées.

Autrement. On construit par points les coniques demandées. A cet effet, que par les trois points donnés on mène trois couples de tangentes k la conique donnée : elles rencontreront une tangente quelconque de cette conique en

35af TRAUÉ DES SECTIONS CONIQUES,

trois couples de, points a,^^ &, 6; c, 7. Qu'on prenne trois points quelconques de ces trois couples^ tels que a,^, c, et les trois points correspondants «yS, 7, étquW les regarde comme appartenant à deux séries homographiques : les tangentes menées à la conique proposée, par les points de la première série, rencontreront respectivement les tangentes menées par les points correspoh4ants de la seconde série, en des points situés sur une conique qui satisfera à la question (47S, CorolL).

Le problème admet quatre solutions, parce que les trois couples de points a, a; &, 6 et c, y donnent lieu à trois autres systèmes de deux divisions liomographiques, savoir: a, i, 7 et a^&^c\ a, &, c et « , i, 7 ; a^ o, 7 et dt, é, c.

VI. — Étant données une conique et trois droites^ dé' crire une conique qui ait un double contact a^ec la pro~ posée 9 et, qui soit tangente a\ix trois droites.

3oient A, B, C, les trois droites. Il suffit de déterminer la corde de contact des deux coniques. Les cordes de la conique donnée comprises entre les deux droites A, B, se coupent deux à deux en deux points, et la corde de contact cherchée passe par l'un de ce^ points (469, i**). De même, les deux droites A, C interceptent dan8..1a conique quatre corder qui se coupent deux à deux en deux points, par l'im desquels passe aussi la corde de contact JLes quatre droitesqui joindront ces deux points aux deux premiers seront quatre cordes de contact^ donnant quatre solutions .de la. question.

Autrement. On détermine les pôles de contact. Pour cela on mène, comme au problème iî, les deux droites Q^iQ^<i relatives aiçix deux droites A, B, et semblablemeoi les deux droites Q, Q'^ relatives à A et C. I^es deux droites Qi 1 Q'i coupent Q.et Q' en quatre points qui sont les quatre pôles de contact cherchés.

Autrerrient. On construit toutes les tangentes des coniques demandées. A cet effet, soient a, a ; J, 6, c, 7 les trois

CH. XIX. — DOUBLE CONTACT. PROBLÈMES. 353 couples de points de rencontre des trcns droites et de la conique donnée. Appelons ai, oci^ biy Si*, Ci, 71, le» trois couples de droites qui joignent ces points à un point fixe pris , arbitrairement sur la conique. Que trois de ces droites, appartenant aux trois couples^ telles que ^i, £,, C|, et les trois droites correspondantes a^ 6|, yi, soient regardées comme les rayons homologues de deux faisceaux homograpbiques : les cordes sous-tendues dans la conique par les couples de rayons homologues de ces deux faisceaux envelopperont une conique satisfaisant à la question (473, CorolL).

Le problème admet quatre solutions, parce qu'il y a quatre manières de former avec les six droites a^^ ai^ b^j 61 et ^u 7i <leux faisceaux homographiques.

Vn. — Mener par un point I une conique qui ait un double contact avec deux coniques C, G.

Soient L, \J deux axes de symptose de C et C, et P le point de concours de ces axes. On mène PI, et PI' conjuguée harmonique de PI, par rapport à L, L'; et dans C et C, respectivement, deux cordes Paai, Vdd^^ conjuguées harmoniques aussi par rapport à L, L^

La conique déterminée parles cinq points I, a^ aj, a', a, aune seconde corde P^&i commune avec C. On cherche les rayons doubles de Tinvolution déterminée par les deux couples de droites PI, PI' et Poaj, PiJ|. Chacun de ces rayons est la corde de contact de C et d'une conique satisfaisant à la question.

En effet, toutes les coniques Y, VV-*? qui passent par le point I, ont quatre points communs, et pour axes de sym«ptose PI, Pr (485 et 486) 5 et les couples d'axes de symptose de chacune de ces courbes et de C, tels que Paai et P^^i, sont en involution (483). Les rayons doubles de Finvolution sont évidemment les cordes de contact des deux coni- ^es U, U' qui satisfont à la question. Or PI, PI' appartien-

354 TRAITÉ DES SECTIONS œNIQUES.

nent à TinYoIution (483). Donc les deux couples Paa^^ Pbbi et PI, Pr suffisent pour déterminer ces rayons doubles, qui donnent les deux solutions de la question. Si ces rayons sont imaginaires, les deux solutions le sont aussi.

Les deux coniques C, C peuvent avoir deux aiitres couples d'axes de symptose, qui donnent lieu à deux antres couples de solutions ; la question admet donc, en général, six solutions.

Vni. — Décrire une conique tangente à une droite L et ayant un double contact auec deux coniques C, C^

Cette question est corrélative de la précédente, et se résout par des considérations semblables, que nous supjprimerons, pour abréger. Il y a de même, en général, six solutions.

IX. — Mener par un point I, une conique tangente à deux droites et ayant un double contact avec une coni" que C.

On regardera les deux droites comme formant une conique C; et la question ne sera plus qu'un cas du problème Vn. Elle aura quatre solutions, et non six, comme ce problème, parce qu'il n'existe que deux points P, P' dont chacun a la même polaire relative à la conique et aux deux droites.

X. — Mener une conique tangente à une droite, passant par deux points, et ayant un double contact avec une conique C.

On regarde les deux points comme les sommets d'une conique C infiniment aplatie, et la question est ramenée au problème VIII, Elle a quatre solutions.

XI. Ces différents problèmes admettent des cas particuliers, pour lesquels nous énoncerons simplement le nombre des solutions.

1^ On demande qu^une conique ait un double contact:

CH. XIX.-TROISCOWQ. INSCRITES A UNE CONIQUE. 355 of^ac une conique C, touche une 4roite en un point donné 6j et. passe par un autre pwtt a. Deux solutions.

a^ Que lacemfue ait un double contoiO^ avec C, touche une droite en un point 6, et soit tangente à une cuUre droite, Devx soiotkyiis.

3^ Que la conique soit tangente à C, en un point donné 6y et en un autre point non déterminé, et passe par deux points a, b. Deux solutions.

4^ Que la conique soit tangente à C en un point 0, et en un autre point non déterminé^ qu^elle passe par un point a et touche une droite. Deux solutions.

5° Que la conique soit tangente àC em un point 0, et en un autre point non déterminé ^ et qu'elle touche deux droites. Deux solutions.

6^ Enfin^ qu^une conique ont un double contact ai^ec deux coniques C, C, tun des quatre points de contact étant donné. Trois solutions (*).

^ y. -^ Propriétés reiaiipes à trois coniques C, C% C^ inscrites dans urne tonique W. — * Construetiwi d^une autre conique inscrite dans W et tangente aux treis C, C^ C\

498* Lorsque deux coniques C, 0/ sont inscrites dans une conique W^ c*est-à-dire ont chacune un double contact avec W, leurs axes de symptose» dont il va être question dans ce paragraphe, seront toujours, comme précédemment, les deux cordes communes qui passent par le point de concours des deux cordes de contact» Et de même, les ombilics des deux coniques seront ceux qui correspondent à ces deux cordes communes, et qui sont situés sur la droite qui joint les deux pôles de contact.

C) Iff. PonceTet, dans le Traité des Propriété* pr9Jeethfe$^ et M. Steiaer àxmXehïÊtmMldeMatHinuiti^uesdeCreHe^UXV^t^. aia«-a24; année i853), <iitt IraiCé, par des coBsidératioiia différentes, la plupart des problèmes précédents.

M. Poncelet, conformément aux principes de la projection centrale, re* garde deux coniques qui ont un double contact eomnelft perspaethre de deux cercles concentriques. (Voir Tnmtê itt Propriétés projectivesy p. aa7-a55.)

Les coniques qu'on peut nener par deux points a, b^ et qui sont inscrites dans une conique W, forment deux séries distinctes. Les cordes de contact des unes passent par un point fixe de abi et les cordes de contact des autres, par un autre point fixe de ab ( 497» I)^ En parlant des coniques inscrites qui passent par deux points, nous entendrons toujours les coniques d'un seul système.

499. Lorsque dès coniques C, C%. . •, inscrites dans une co~ nique W, passent par deux points a, b, si d'un point I de la droite ab on leur mène des tangentes : les points de contact sent sur urte conique inscrite à Vf et dont le pôle de contact est L

En effet, il existe cpiatre coniques tangentes >à une d^roite quelconque menée par le point I (497) X) ; mais deux seulement appartiennent au système C, C',.«. que Ton cpnçidère. Aucune conique du système ne passe par le point I. Donc le lieu cherché n'a que deux points sur une droite quelconque menée par le point I, et conséquemment est une conique 2. Par chaque point a de cette conique 2 passe une conique C tangente en ce point à la miroite I[a. Si a est sur W, cette conique C est tangente à W au même point a. Donc ce point a est le point de contact d'une tangente de W menée par I. Donc là conique 2 a un double contact avec Yf, et I est le pôle de contact. Ainsi le théorème est démontré.

500. On conclut de là, en ne considérant que deux coniques C, C, ce théorème très-important :

Lorsque deux coniques C, C ont un double contact avec une conique W> si d'un point I dune des cordes communes de C et C, on mène des tangentes à ces courtes : les quatre points de contact sont sur une conique 2, inscrite dans W, et dont le pôle de contact est I.

Réciproq|ttement : Lorsque deux coniques C, C^ sont inscrites dans une conique W, et que d'un point I on leur mène des tan-genteSy si les quatre points de contact sont sur une conique 2 iVi* scrite dans W, et ayant le point I pour pôle de contact ? l'une des deux cordes communes a C et C passe par le point I.

En effet, soient /i, ^, et a\ b' les points de contact des tangentes menées du point I aux deux coniques C, C. Par les points

CH. XIX.— TROIS œNIQ. INSCRITES A UNE CONIQUE. 357 a' et V on peut mener nne conique QT inscrite dans W, et tel1e> que l'une de ses cordes communes avec C passe par I ( ce qui ne fiiit que cinq conditions). Les tangentes aux deux coniques C, 01' menées du point I auront leurs points de contact sur une conique inscrite dans W et dont le pôle de contact est I, comme il vient d'être démontré. Cette conique est donc Z. Or 2 passe par a! et 6' deC% donc la', W sont les tangentes à&.QT. Donc C coïncide avec C. Donc une corde commune de C et C passe par I.

501. Lorsque trois coniques C^ C'^ C sont inscrites dans une conique W, leurs six axes de symptose passent trois à trois par qtiatre points.

En effets soit L un axe de symptose de C et C\ et Lt un axe de symptose de C et C^. Les tangentes menées aux trois coniques, du point d'intersection I de ces deux droites, ont, d'après le théorème précédent, leurs points de contact sur une conique inscrite dans W, et dont le pôle de contact est L Donc, d'après la réciproque, le point I est sur un axe de symptose de C et C'^ Donc, etc.

502. CoER^LATrvEMENT : Lorsquc trois coniques sont inscrites dans une conique Vf, leurs six ombilics sont trois à trois sur quatre droites,

503. Lorsque deux coniques C, G sont inscrites dans une co* nique W, si d^un point I d'un de leurs axes de sjrmptoscy L, on mène deux tangentes la, la' à C ff C : par les deux points de contact a, a' passe une conique tangente en ces points à Cet à C, et inscrite dans W.

En effet, on peut mener par le point a une infinité^de coniques U tangentes à C en ce points et inscrites dans W. Un axe de symptose commun à C et à chaque conique U passe par le point I ( 501) : de sorte que toute droite menée par ce point, et conséquemment la droite la', est un axe de symptose de C et d'une conique U; et puisque la! est tangente à C, U est aussi tangente à C. Ce qui démontre le théorème.