Concevons que d'un autre point I, de L on mène deux

tangentes I,a„ lia\ de manière ^fiie les droites aê^, «|it\ passent

par un même ombilic S d<î C et C :

Si par les deux poi/tts a,' à' on mène une œntqae U imcrke dans W, ettangenie àCetC on ces points; et par^L^^ a', une^nique Ui inscrite dans W «f tangente à C etG en at , a', : i^ ses ombîlie des deux coniques II, Ui est sur la droite L,eti^ un deieurs axes de sjmptose passe par fomhilie % de Cet G.

En eflet, i<> «tst un ombUic de€ et U, et «i QB4MBibiliciie€ et Ui; donc la droite aa^^ passe par un ombilic de U et Ui (502): de même la droite aV, . Mais ces deux droites se coupent sur L, corde commune à C et C, ce qui est une conséquence du théorèniie (363). Donc : i«, etc.

2° La tangente \a est un axe de symptose de C et detJ^ etï,ûr, un axe de symptose de C et de IJi. Donc le point d*iatersectioD de ces deux tangentes est sur un axe de symptose de U et Ui (SOI). De même le point d'intersection des deux tangentes \a\ \\a^. Mais ces deux points d'intersection sont en ligne droite avec rombilic S de C et C (363) , Donc : a*», etc.

Ainsi le théorème est démontré .

505. Il résulte de cette démonstration que: Vne droite D, menée par un ombilic S de Cet C, est la corde commune d'une infinité de systèmes de deux coniques U, U', tangentes à C et à C'j et inscrites dans W. Pour déterminer tm tel système, il suffit de HMner à la conique €, par «n point gr de la droite D, deux taogentes ga^ ga^ ; les points de contact a, ai appartiendront, respectivement, aux deux coniques danani^ées. On peut dire encore que par le pôle de D relatif à la conique C, on mène uoe eorde ^péconque aux qui détermine les poînts de contact m^ ai des deux coniques dimandées.

S06u P&OBLÂHB. — Étant données trois coniques C, C, C inscrites dans une conique W, on demande de construire une conique U inscrite dans W, et tangente aux trois coniques C, C, C.

Les ombilics des trois coniques^ C, C\ C sont trois à trois sur quatre droites D, D', .• • ( 502) ; et leurs axes de symptose se coupent trois à trois en quatre points I, I', . . . (50i ).

CH. XIX.— TROIS CONIQ. INSCRITES AUNE œNIQUE. 359 Que par le pôle de la droite D, relatif à la conique G, on mène une droite passant par Tun des quatre points I. Cette droite rencontre C en deux points a, a,. Et par chacun de ces points passe une conique inscrite dans W et tangente à G en ce point, et aux deux autres coniques en deux points dont les tangentes passent par le point I (505) ; ce qui fait deux solutions de la question. Les droites menées du pôle de D, aux trois autres points F, F, I'", donnent pareillement trois autres couples de coniques tangentes à G, C et C; ce qui fait huit solutions relatiVesà la droite D. On détermine semblablement huit solutions pour chacune des trois autres droites D', P", D'\

Ainsi il existe trente-deux coniques inscrites dans W et. tan-> gentes aux trois G, G', G".

507. Construction des axes de symptose de deux coniques G, G' inscrites dans une conique W. — Ces axes passent par le point de rencontre I des deux cordes de contact des coniques G, G', et forment avec ces deux cordes un faisceau harmonique. Les polaires d'un point quelconque, relatives à G et G', se coupent en un point 0' : et les deux axes de symptose forment aussi un faisceau harmonique avec les deux droites 10, 10' ( 308). Conséquemment ces deux axes sont déterminés.

Cas où la conique C est un point. — Ce point G' représente une conique infiniment petite inscrite dans W ; sa corde de contact est la polaire du point relative à W(460, 4**)« La construction générale des axes de symptose de G et de G' subsiste. Pour l'appliquer, il suffit de savoir que la polaire d*nii pcnnt O, relative à C^ se détermine par cette considération, que les polaires de O relatives à W et à C se coupent sur la corde de contact de G' (&'6i), c'està-dire sur la polaire de G' relative à W.

Cas 6à les deux coniques G, G' sont des points, — La construction des deux axes de symptose des deux points G, G con^dérés comme deux coniques infiniment petites inscrites dans W, se fait comme dans le cas précédent.