Cas particuliers du problème

1" Deux coniques C, C et un point C.

36o TRAITÉ DES SECTIONS GONIQtFES.

Les deux coniques C, G ont deux ombOks; maïs € et C" n'en ont qu'un, qui est le point C^; de même pour C et G^. De sorte qu'il n'existe que deux droites D, D'r

Les axes de symptose de C, C et C se coupent en quatre points; et chacune des droites D, D' associée avec un de ces points, donne deux coniques satisfaisant à la question; il y a dond seize solu-r tions.

9^ Une camque C ei deux points G% C\

Les trois couplés d'axes de symptose, et les quatre points d'intersection, trois à trois, subsistent. Mais il n'existe qu'une droite D, qui joint les deux points C, C^. De sorte qu'il n'y a que huit solutions.

3** Une conique C, un point C et une droite C {qui représente une conique infiniment aplatie y limitée aux deux pmnts ou Q" rencontre W).

Les axes de symptose de G et G' coupent la droite C en deux points.!, r. Les ombilics de G et G'', joints au point G% donnent deux droites 1)^ D'. S'ensuivent huit solutions.

4" Deux coniques G, G' et une droite C.

G\ dnsî qu'il vient d'être dit, est une conique infiniment aplatie limitée aux deux points ( réels ou, imaginaires ] où elle ren^ contre W. La question est corrélative de la première ci-dessus. Seize solutions.

S° Une conique G et deux droites C\ G".

Question corrélative de la seconde ci-dessus. Huit solutions.

509. Lorsque deux coniques C, G' sont inscrites à une conique W, si de chaque point I de leur corde commune L on leur mène deux tangentes la, la\ dont les points de contact soient sur une droite passant toujours par le même ombilic S de G et C, la corde de con^ tact IL de la conique inscrite à Vf, et tangente en 9l etW àC et C (503), enveloppe une conique.

Il faut démontrer que par un point donné il ne passe que deux droites K. Soit O la corde de contact de G et W; la corde de contact K passe par le point d'intersection de G et de la (^15, CorolL). Or, par un point de la droite G il ne passe que deux tangentes de G telles que la. En outre, la corde G ne peut pas être

CH. XIX. — AUTRES DÉMONSTRATIONS. 36i

une de ces tangentes. Donc par chaque point de G il ne passe que deux cordes de contact. Donc ces cordes de contact enveloppent une conique. c. q. f. d.

GoROLLAiBES. — Cette enveloppe a quatre tangentes communes avec W. Chacune de ces tangentes est la corde de contact d'une conique inscrite dans W. Cette conique a donc un contact du troisième ordre avec W. Ainsi :

Parmi les coniques tangentes àCelC! en des points tels que a et a', t7 y en a quatre qui ont un contact du troisième ordre apec W.

Les coniques tangentes en deux points ^i, a\ situés sur des droites passant par le deuxième ombilic S| de C et C% forment une deuxième série de coniques, dont quatre ont aussi un contact du troisième ordre avec W ; ce qui fait huit coniques formées au moyen de l'axe de symptose L.

Il y a pareillement huit coniques répondant à l'axe de symptose L'. Donc

// existe seize coniques tangentes à Cet à C'y et ayant un contact du troisième ordre apec W.

Si G est un point, il n'existe qu'un ombilic de C et C% qui est le point C! ; il s'ensuit que le nombre des coniques est réduit à huit,

§ VI. — Analogies entre des systèmes de coniques inscrites à une conique W, et des systèmes de cercles, — Procédé de démonstration applicable également à ces deux genres de questions»

510. Il existe une analogie frappante entre les propriétés des coniques inscrites dans une conique W, qui font le sujet du paragraphe précédent, et les propriétés des cercles, notamment en ce qui concerne la construction d'une conique tangente à trois autres (S06)j et la construction d'un cercle tangent à trois cercles (G. S,, chap. XXXII )• C'est qu'en effet on peut transformer l'un des systèmes dans l'autre. Cela se fait au moyen d'une sphère, on plus généralement d'une surface du second ordre, sur laquelle on transporte, par une perspective, l'œil étant en un point de la surface, les cercles du plan, qui deviennent des sections planes de la surface; sections que Ton reporte ensuite sur le plan, par une nou-

velle perspectrre, VûsW étuit.«iavs placé «n on poiot quelconque de res()ace. Cee secdons planes deviennent des coniques qui sont» toutes inscritas à. une même conique W : celle-ci est lsi perspecbv.e du contour apparent de la surface. La transformation d^une figure dans Tautrc se fait donc au moyen d'un système intermé* diaire de 3cctions planes de la surface du second ordre» Les propriétés des trois systèmes se correspondent; mais celles des sections, planes de la surface se présentent à l'esprit d'une manière intuitive, de sorte qu'elles offrent un moyeifi de démonstration extrêmement simple des propriétés, soit des cercles, soit des co-, niques inscrites à une même conique W.

Ce procédé de démonstration repose sur le théorème suivant.

511. Txioates. — La perfpectwe de toute section piane dune surface dm second ordre^ sur un plan quelconque ^ est une conique qui a un double contact avec la perspective du contour ap-' parent de la surfade f et le pâle de contact des deux courbes est la perspective du sommet du cône circonscrit à la surface suiçant 4a section plane.

Le conjour apparent de la surface est la courbe de contact du oône circonscrit qui a pour sommet le point de Toeil. Cette courbe est plane, et sa perspective est la trace du c6ne sur le plan de projection. Une section plane quelconque (C) coupe le contour apparent en deux points. Les plans tangents à la surface en ces points renferment les tangentes aux deux courbes eo leurs poitits communs; et comme ces plans passent par l'œil, leurs traces sur le plan de projection sont les tangentes communes aux projections «les deux courbes en leurs deux points de rencontre. Ainsi les deux coniques ont deux points de contact.

En outre, les deux plans tangents à la surface passent par le sommet du cône circonscrit suivant la courbe (C). Conséquem- ^ent le point de rencontre de leurs traces sur le plan de projection, c'est-à-dire le pôle de contact des deux coniques, est la per-: spective.du sommet du oône. Ainsi les deux parties du théorème sont démontrées.

Corollaire I. — Lorsque l'œil est situé sur la surface, les perspectives de toutes les sections planes sont des coniques qui passent par