CH. XIX. — AUTRES DÉMONSTEAUONS

daut pmrnti JuDes; et la droite 4fui Joint ces.poi/Us a pour pôles dMts les coniques les perspectives des sommets des eôstes circonscrits à la surface suivant les sections planes. Les deux poinU fixes sont les points où les deux droites ( réelles ou imaginaires ) qu'on peut mener sur la surface par le point de Toeil, rencontrent le plau de projection.

Ces deux droites aont réelles quand la surfisoe est uu hyperboloide è une nappe, engendré, oonime on sait, par une droite 4|uî s'appnîe sur trois droites fixes.

Lorsque la surface est un ellipsoïde ou un h3rperboloide k deux nappes, les deux droites sont imaginaires et n'ont de point réel que le point de contact du plan tangent; car la courbe d^intersection de la surface et à^ plan tangent est alors une conique infiiyiment petite, et nous avons vu qu'une telle conique est l'ensemble de deux droites imaginaires ( 389 )• C'est sur ces droites que se trouvent les deux points d'intersection de la surface et d'une droite quelconque menée dans le plan tangent.

GoxoixâiAx II. — Lorsque Foeil éunt en un pœnt de la sur£ice, le plan de projection est parallèle au plan tangent en ce point, toutes les sections planes de la surface deviennent en perspective des coniques horaothétiques, c'est-à-dire semblables et semblablement placées, puisque alors les deux points (réels ou imaginaires), communs à toutes ces coniques, sont à l'infini. Les centres de ces courbes sont les perspectives des sommets des cônes circonscrits à la surface suivant les sections planes.

512. L'cnl étant placé en un point quelconque de l'espace, pre* aons pour plan de projection le plan de la conique qui est le contour apparent de la surfiice ; appelons W cette conique. La projection d'une section plane (€) de la surface est une conique C inscrite dans W. La corde de contact des deux courbes est la trace du plan de (G) sur le plan de W; et le p6le de contact est la perspective du sommet du cône dveonserit à la surface suivant la courbe (C).

Deux sections planes (C), (C) se coupent en <)eux points a, 6; et leurs perspectives €, C, en deux points a^ by qui sont les perspectives de a et 6 ; de sorte cfue Vaxe de sjrmptose ab de C et C" est

la perspective de la droite d* intersection des plans des deux courbes (C), (C). En outre, cette droite ab passe par le point d'intersection des cordes de contact des deux coniques C, C% parce que ces droites sont les traces des plans des deux courbes (C), [C) sur le plan de projection.

Les cônes qui font la perspective des deux courbes (C), {C) rencontrent la surface suivant deux autres courbes planes (Ci), (C,), dont C et G sont aussi les perspectives. Le deuxième axe de symptose deCetCf est la perspectipe tout à la fois de la droite d'iMersection des plans des deux courbes {C)^ (C,)', et de la droite d* intersection des plans des deux autres courbes (Cy)et (G).

Par les deux courbes (C]y(C') passent deux cônes. On peut mener parle point de Tœil deux plans tangents à chaque cône. Leurs traces sur le plan de W sont des tangentes communes aux deux coniques C, C ; et le point d'intersection de ces tangentes est la perspective du sommet du cône auquel on a mené les plans tangents. Ainsi les ombilics des deux coniques C, G sont les perspectives des sommets des deux cônes qui passent par les deux courbes (C), (C).

513. i ^ Lorsque plusieurs courbes (C ) , (C ), . . . , passent pa r deux poîntsa, êdelasurface, il leur correspond des coniques C, C^...y qui passent par deux points à^ b. Les cordes de contact de ces coniques et de W passent par un point fixe de leur corde commune ab^ savoir, par le point où la droite a6 perce le plan de projection.

Les droites menées de Toeil aux points a, 6 rencontrent la surface en deux autres points a., 6|. Les sections planes menées par les deux points a, 6| ont pour perspectives dés coniques Ct, C, ,•.., qui passent par les deux points a, b^ et dont les cordes de contact avec W passent par un point fixe de ab^ qui est le point où la droite a6| perce le plan de projection. Ainsi Ton voit que les coniques inscrites à W, qu'on peut mener par deux points donnés a, hy/Qrment deux séries distinctes. Pour les unes, les cordes de contact passent par un point de aby et pour les autres par un autre point de cette droite.

2° Lorsque des coniques C, C',. . ., passent par un point a et touchent une droite A, elles sont la perspective d'autant de courbes (C), ( C'),..., de la surface, menées par un point a, et tangentes à