TOAITÉ DES SECTIONS CONIQUES

mène les tangentes et quatre autres droites aboutissant à un cinquième point quelconque de la courbe : le rapport anharmonique de ces quatre droites sera égal à celui des quatre points de rencontre des quatre tangentes et d'une cinquième tangente quelconque.

Le rapport anharmonique, soil d'un faisceau de quatre droites, soitde quatre poi nts en ligne droite, restant le même dans lés projections (*), il suffit de démontrer le théorème pour le cercle qui forme la base du cène dans lequel on considère la conique. Or sur le cercle le théorème est évident. En effet, soient fl, è, c, d (Jig. i) quatre points du cercle 5 aa, bS, cy^ de les tangentes en ces points, et a, 6, y, S les points de rencontre de ces tangentes avec la tangente L en un cinquième point fl. Les droites Pa, Pi,..., menées d'un point quelconque du cercle aux quatre points a, J, c, d ont visiblement un rapport anharmonique égal à celui des quatre points «, 6^ y, d. Car Tangle aVb est égal à l'angle âI16; et celui-ci est égal à l'angle et 06, les côtés de ces deux angles étant perpendiculaires chacun à chacun. Les quatre droites P a, Pi, Pc, P</ font donc entre elles, deux à deux, des angles égaux à ceux des quatre droites Oa:, OS, Oy, O J; C0n$équemment le rapport anharmonique des quatre prei^ùères droites est égal à celui des quatre dernières. Mais celles-ci ont le même rapport anharmonique que les quatre points a, 6, y, 5. Donc, etc.

§ II. — Deux propriétés fondamentales des coniques.

3. Le théorème qui vient d'être prouvé conduit sur-lechamp à deux propriétés fondamentales des sections coniques. Nous les distinguons sous cette dénomination parce <jue. aous déduirons directement de ces deux propriétés la

( * ) iiéQméiric sttpérieure, art, 16 et lU-

CHAP. I.— PROPfaÉTÉS FONDAMENTALES. 3

théorie de ces courbes, sans remonter, sauf quelques cas très-rares, au théorème unique dont elles sont la consé^ quence.

La première est relative à six points d'une conique; la seconde à six tangentes.

L^une et l'autre ont une égale importance dans toute la théorie : elles y jouent des rôles semblables. Elles donnent lieu naturellement à deux genres différents de propositions qui se correspondent dans le sens de la dualité ou de la corrélation f comme nous l'avons exposé dans notre premier volume (*). Ainsi nous n'aurons jamais besoin de faire usage, dans le Traité des Sections coniques que nous entreprenons, du principe de dualité ou de corrélation, parce que les démonstrations se correspondront toujours deux i deux et pourront être calquées l'une sur l'autre, comme les propositions mêmes.

4. Propriété foudâmentale relative aux poiitts d'uhe CONIQUE. — Si de quatre points d*une conique on mène des droites à un cinquième point de la courbe : le rapport anharmonique de ces droites a une "valeur constante, quel que soit le cinquième point.

En effet, les droites menées de quatre points a, b^ c, d à un cinquième point P ont leur rapport anharmonique égal, d'après le théorème précédent, à éelui des quatre points dans lesquels les quatre tangentes en a, i, c, df rencontrent une cinquième tangente. Donc ce rapport anharmonique est constant, quel que soit le cinquième point P.

5. Propriété fohdambutale relative aux tangentes d'une conique. — Quatre tangentes fixes d'une conique sont rencontrées par une cinquième tangente quelconque

(*) Trmiié de Géométrie supérieure, p. xvii.

en quatre points dont le rapport anharmonique est constant.

En effet, ce rapport anharmonique est égal à celui des quatre droites menées des points de contact des quatre tangentes, à un cinquième point fixe pris arbitrairement sur la conique (2).

Autre expression des deux propriétés fondamentales.

6. D'après le théorème (4), les droites menées de quatre points d'une conique à deux autres points P, P de la courbe forment deux faisceaux qui ont le même rapport anharmonique. On peut donc dire que les droites menées de deux points P, P' de la courbe à quatre autres forment deux systèmes ou deux faisceaux de quatre droites ayant le même rapport anharmonique. Et de là cet autre énoncé qui ne diffère pas, au fond, du théorème (4), mais qui sera généralement d'une application plus immédiate :

Si autour de deux points fixes d'une conique on fait tourner deux droites qui se coupent sur la courbe : ces droites^ considérées dans leurs positions successwes, for^ ment deux faisceaux homo graphiques.