Le théorème (8) donne lieu pareillement à cet jénoncé

' Les points de rencontre de deux tangentes fixes à une conique et d' une troisième tangente mobile forment deux dii^isions komo graphiques .

Avant d'entrer dans le développement des conséquences auxquelles conduisent les deux propositions fondamentales (4) et (5), ou les deux propositions (6) et (7) qui en sont des expressions différentes, il faut démontrer les réciproques de ces dernières.

. CHAP. I. — PROPRIÉTFS FONDAIMENTALES. 5

§ III. — Réciproques des deux propositions fondamentales.

8. La courbe, lieu des points d'' intersection des rayons homologues de deux faisceau r honiographiques , est une section conique qui passe par les centres des deux fuisceaux.

C'est-à-dire qu'on peut mener par cette courbe un cône à base circulaire.

Soient P, P' (^g\ 2) les centres des deux faisceaux, et Pa, P'a deux rayons bomologues. La courbe, lieu du point rt, passe par les points P, P'; sa tangente en P' est le rayon qui dans le deuxième faisceau correspond au rayon PP' du premier (*). Menons à cette tangente un cercle tangent, au point P'. Ce cercle coupe la droite P'P en un point tt, et les rayons P'a, P'A,..., du second faisceau en des points a, 6,.... Les droites 7rà, ttS,..., forment un faisceau homographique au faisceau P'a, P'6,..., et par conséquent au

faisceau Pa, P/?, Or ces deux faisceaux (P) et (tt) ont

un rayon commun suivant la ligne des centres P, tt : car si le rayon P'a est dirigé suivant la tangente en P', le point a se trouve infiniment voisin de P' et coïncide avec «. Il suit de là que deux rayons homologues quelconques Pa, Tia des deux faisceaux (P) et (tt) se rencontrent sur une droite fixeL {Géom. sup.^ art. 103) {**).

Les deux triangles Pa&, nocS sont homologiques, puisque leurs sommets sont sur trois droites aa^ AS, Pir concourant en un même point, et la droite L est leur axe d'homologie. Donc si l'on fait tourner le plan du cercle efcdu

(*) Le court raisonnement qui justifie cette construction se trouve dans le Traité de Géométrie supérieure, art. 541, et ci-après, art. 11.

(**) Nous indiquerons désormais les renvois au Traité de Géométrie supérieure par les deux lettres O.S.