CHAP. I. — PROPRIÉTÉS FONDAMENTALES

plan, les droites a! a' concourront en un même point de l'espace. Par conséquent, l'œil étant place en ce point, les droites aa^ seront les projections des droites aai'*^ donc la courbe enveloppe des droites aa' sera la perspective de la courbe enveloppe des droites na'; mais celle-ci est un cercle. Donc la première courbe est sur un cône à base circulaire. Ce qu'il fallait prouver (*).

§ IV« — Conséquences immédiates des deux propositions fondamentales,

10. Cinq points déterminent une conique. — Construction de la courbe.

Soient O, (y, a, i, c [Jig- 4) 'es cinq points donnés. Considérons les trois rayons Ort, 06, Oc et les trois rayons Ca, Q'i, O' c comme se correspondant deux à deux, respectivement, dans deux faisceaux homographiques. A un quatrième rayon OJ du premier faisceau correspondra dans le second un rayon unique O'rf déterminé par la condition

0'(«, 6,c, ^) = OK^c,rf)(**);

(*) Cea réciproques de« deux propriétés fondamentiiles des sections coni> ques ont été démontrées, par d'autres considérations, dans le Traité de Géométrie supérieure, art. 547 et 555. Les démonstrations données ici sont plus directes et plus appropriées au sujet, parce qu'elles n'exigent la connaissance d'aucune propriété des figures homographiques. L'idée de construire sur la figure même le cercle dont la courbe engendrée sera la perspective» m'a été suggérée par M. J. Delbalat, ingénieur-hydrographe de la marine, qui suivait en i852 le Cours de Géométrie supérieure de la Sorbonne.

(**) A l'exemple de M. Mobiusdans son savant ouvrage Der harjrcentrische Calcul, Leipzig, 1837; in-S® {voir p. 246), nous emploierons souvent dans la suite, pour représenter le rapport anbarttionique de quatre points a, h^ r, d, la notation {a^h^e, d)) et l'égalité des rapports anbarmoniques de deux systèmes de quatre points sera exprimée ainsi

Nous écrirons pareillement (Oa, O*, Oc, Orf), ou même 0(«, h, e^d) pour

lo TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES.

Oflf, 06, Oy aux trois rayons O'a, CKé, CKc. On aura ainsi deux faisceaux de même centre O, déterminés par trois couples de rayons homologues Oa, Oa-, Oi, 06, et Oc, Oy. On cherchera les rayons doubles de ces deux faisceaux (G. S.^ 176, 263) ; ils détermineront évidemment les directions des deux points de la courbe situés à Finfini.

Si ces deux rayons sont réels, la courbe est une hyperbole^ parce qu^elle a deux points à l'infini dans la direction de ces rayons. S'ils sont coïncidents, la courbe n'a qu'un point situé à Tinfini, et est une parabole. Enfin si les deux rayons doubles sont imaginaires, la courbe n'a aucun point à l'infini, et est une ellipse.

La construction précédente offre donc une, solution fort simple de cette qqestion : Étant donnés cinq points d^une conique^ déterminer la forme de la courbe^ sans la construire.

Quand la courbe est une hyperbole, si les asymptotes sont rectangulaires, on dit que l'hyperbole est équilatère.

14. Construire les asymptotes d\ine conique dont on donne cinq points.

Ayant déterminé, comme il vient d'être dit, les directions Oîî, Ofl' des deux asymptotes, ou, ce qui revient au même, les deux points de la courbe fl, QI situés à l'infini, il ne reste plus qu'à mener les tangentes en ces points. C'est ce qu'on fera en appliquant le principe de la construction précédente (H) • c'est-à-dire en prenant les deux points A, £2^, pour sommets de deux faisceaux homographiques dont les rayons homologues se coupent sur la courbe, et en cherehant les rayons homologues à la droite SIQ! située à l'infini, regardée comme appartenant successivement à chacun des deux faisceaux. Voici celte appKcalion.

Par les trois points a^ b^ c on mène aux deux droites

CIIAP. i. — PROPRIÉTÉS FOPiDAMENTALES. 1 1 OSlyOSX des parallèles.: ce seront des rayons de deux faisceaux (H), (A^)* On coupe qcs parallèles par une transversale quelconque L, en deux systèmes de trois points a, 6, y, et o/, 6', y, qui déterminent les deux divisions homograpliiques formées sur cette transversale par les deux faisceaux. La droite û!ù,^ rayon du second faisceau, rencontre la droite L à Tinfini ; la tangente en il, rayon homo- 1(^6 dans le premier faisceau (11), passe donc par le point I qui correspond, dans la première des deux divisions, au point à Tin'fini de la seconde division : on mènera par ce point I une parallèle à la droite OU ; ce sera une asymptote. Pareillement, le rayon du second faisceau mené par le point J' de la seconde division correspondant au point à l'infini de la première, sera la seconde asymptote.

15. Cinq droites prises pour tangentes à une conique déterminent la courbe. — Construction des autres tangentes.

Soient O, CV, A, B, C (^g. 6) les cinq droites données; a, by c et a', i', c les deux systèmes de trois points dans lesquels les trois dernières A, B, C rencontrent les deux premières O, CV.

Une sixième droite qui rencontrera les droites O, CV en deux points m, m' tels, que les deux séries de quatre points a, A, c, m et a\ b\ c', m' aient le même rapport anliarmonique, sera tangente à une certaine conique, comme le seront les cinq premières (9).jCette condition permet dé consiruire toutes les tangentes à cette conique, et montre qu'il n'existe qu'une seule courbe tangente aux cinq droites données.