Const/nction du point de contact de chaque tangente

Soient S le point d^intersection des deux tangentes O, O', et s le point de contact cherché de la première O. Pour déterminer ce point, il suHit d observer que les quatre poinifr

13 TRAITÉ DES SECtlONS CONIQUES,

â, &, Cy S ont un rapport anharmonique égal à celui des quatre points û', b\ d ^ 8. Si Ton considère, en effet, une tangente infiniment voisine de la tangente O, elle rencontrera celle-ci et la tangente O' en deux points a, a infiniment voisins des deux s et S, respectivement. Donc les deux systèmes de quatre points a, i, c, a et al ^ b\ c', a' auront le même rapport anharmonique (7). Mais, à la limite, où ff coïncide avec J, or' coïncide avec S; donc, etc.

Observation. — L'une des cinq tangentes données peut être située à Tinfini -, alors la conique est une parabole. Les solutions des deux problèmes (15) et (16) restent absolument les mêmes si l'on suppose que cette tangente à Tinfini soit Tune des trois A, B, C. On peut la prendre aussi pour l'une des deux autres, pour C par exemple. Dans cette hypothèse les points a', b\ c', . . . sont à Tinfini, sur des parallèles A', B', C',... menées aux tangentes A, B, C par un même point pris arbitrairement. De plus, le rapport anharmonique des quatre points r?, b, c, d dans lesquels quatre tangentes A, B, C, D rencontrent la tangente O, est égal à celui des quatre droites A', B', C, D^ parallèles à ces tangentes^ et c'est le faisceau de ces quatre droites qu'on substitue à la série des quatre points «', b\ c\ r/', situés tous à l'infini.

D'après cela> veut-on déterminer la direction dans laquelle se trouve le point à Tinfini de la parabole, c'est-àdire le point de contact avec la tangente située à l'infini : il suffit de supposer le points/ à Tinfini dans la séries, J, c, r/; et la droite ly, déterminée par l'égalité

(«, è,c, oo) = (A',B',C', D'),

ainsi que toutes ses parallèles, passe par le point à l'infini demandé.