Connaissant cinq tangentes à une conique^ rléler

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miner les tangentes qui passent par un point donné. — Tangentes imaginaires.

Soient O, (y, A , B, C les cinq tangentes ; â, &, c et a\ b\ c' lespoints dans lesquels les trois dernières A, B, C rencontrent les deux premières O, CV*, et soit P le point par lequel on veut mener les tangentes, à la courbe. Ces tangentes seront évidemment les rayons doubles des deux faisceaux homographiques déterminés par les trois couples de rayons correspondants Pa, Va! '^ Pi, Pi', et Pc, VJ, Car un de ces rayons doubles rencontrera les deux droites O, CV en deux points m, m', tels, que le rapport anharmonique des quatre points a, i, c, m sera égal à celui des quatre pointsa', i', d^ ni. Donc la droite mm' est une tangente à la conique déterminée par les cinq droites données (9). Mais cette droite passe par le point P; donc, etc.

Si les deux faisceaux n'admettent qu'un rayon double, on en conclura que le point donné est situé sur la conique.

Si les deux rayons doubles sont imaginaires, on dira que lesdeux tangentes à la conique sont imaginaires. On a ainsi une idée bien nette de ce qu'on entendra par tangentes imaginaires d'une conique. Ces tangentes donneront lieu, bien qu'imaginaires^ à différentes relations avec d'autres parties de la âgure, à raison de leurs éléments qui restent réels (G. «y., 98). Par exemple, on pourra déterminer la droite qui divise leur angle en deux parties égales -, ou bien la droite conjuguée harmonique d'une autre droite donnée, par rapport aux deux tangentes^ réelles ou imaginaires.

§ V. — Remarques sur l'étendue de chacune des deux propositions fondamentales.

18. La proposition fondamentale (4) exprime une propriété relative à six points d'une conique, un point de plus quil n'en faut pour déterminer la courbe. De sorte que ^ctte propriété établit une relation entre» les cinq points

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qui déierminent la courbe, et uu sixième point quelconque. C'est pour cela qu'on peut en déduire toutes les propriétés des sections coniques. Elle équivaut à une équaiiou dé la courbe en Géométrie analytique, car une telle équation n'est au fond qu'une relation entre le nombre de points plus un, nécessaik^ pour déterminer une courbe. En effet, l'équation générale d'une courbe d'ordre m,

contient — ^ : — coemcients indépendants qui servent

à assujettir la courbe à passer par autant de points donnés. Or les coordonnées a:, j^qui entrent dans l'équation, appartiennent à un nouveau point indéterminé de la courbe; de sorte que Téquation exprime une relation entre ce point

quelconque de la courbe et les premiers , pris

arbitraîl'ement.

La proposition (5) exprime une propriété relative à six tangentes d'une conique, une de plus qu'il n'en faut pour déterminer la courbe. C'est pour cela qu'elle peut se prêter, comme la première, à la déduction de toutes les propriétés des sections coniques.

Ainsi chacune des deux propositions fondamtin taies (4) et (5) pourrait être prise pour point de départ unique^ et toute la théorie se déduirait d'une seule des deux. Mais, comme ces propositions s'appliquent plus naturellement et avec plus de facilité, chacune à un genre particulier de propriétés, nous nous servirons concurremment de Tune et de l'autre et de leurs conséquences, dans tout le cours de cet ouvrage.

Il est à remarquerque cette marche n'offrira pas seulement une plus grande facilité que celle qui aurait pour but de déduira d'une seule de ces propositions, à l'instar de la mar-

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die suivie en Géométrie analytique, toutes les propriétés des coniques, dont quelques-unes pourraient Être parfois rebelles à la méthode; elle aura cet avantage immense, que les démonstrations, dans les deux ordres d'idées ou de propositions, seront toujours parfaitement semblables ou identiques, comme nous Tavons annoncé (3) ; cette identité étant fondée sur Tanalogie constante qui a lieu entre les dwisions et les faisceaux homographiques. 11 résultera de là que nous pourrons parfois supprimer les démonstrations d'une partie des propositions ; démonstrations que les géomètres rétabliront sans aucune dîflQculté, à la simple lecture de celles que nous aurons données.

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