Théorème de Desargues. — Quand un quadrilatère

est inscrit dans une conique, une transversale quelconque

rencontre las deux couples de côtés opposés et la conique,

en trois couples de points qui sont en ini^olution (*).

Soit ABCD (fig* 8) le quikirila 1ère inscrit^ a, ft, a\ h' les points dans lesquels une transversale L rencontre les quatre côtés consécutifs AB, BC,....

SI Ton conçoit que deux droites tournent autour des deux sommets opposés A, C en se coupant toujours sur la courbe, elles formeront sur la droite L deux divisions homographiques dont les points doubles e,/" (réels ou imaginaires) seront les points de la conique situés sur celte droite (12). Or a, h et b\ a' ^ sont deux couples de points correspondants des deux divisions; les trois couples «, cl \ 6, i'ete,y*sont donc en iiivolution (('i. <S., 259). Donc, etc. Ainsi toutes les équations qui expriment Tinvolution (G. 5., 184, 215) ont lieu pour les trois couples de points «, a'; i, V et e^j\ Nous nous bornerons à rappeler ici les deux suivantes, applicables au cas où les deux points e, f de la conique sont imaginaires :

ab.oU ae.nf

a'b,a'b' "" a'e.a'f ma . ma* .^ 4- mh . w^' .7a 4- me.mf, aS m o,

*î ê, 7, dans cette dernière, étant les milieux des trois seg- .înents aa\ bb' et ef\ et m, un point quelconque de la transversale ab.

Les points e^^n'entrent dans la première équation que parles rectangles ae,aj\ a'e.a'f toujours réels, et dans la seconde par un rectangle semblable et par leur point milieu 7 qui est aussi toujours réel-, c'est pourquoi les équations subsistent quand les points sont imaginaires.

<*) Voir Aperçu historique, etc., p. 77.

i8 TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES.

Obseivation» — Le théorème coucerne, dans son énoncé, les quatre côtés du quadrilatère \ mais il s'applique évidemment au système des deux diagonales et de deux côtés opposés. Car ces quatre droites sont les quatre côtés d'un second quadrilatère inscrit à la conique : par exemple, du quadrilatère ACBD.

21 . Corollaire. — On conclut du théorème cette conséquence immédiate : Quand deux quadrilatères sont inscrits dans une conique , si^ trois côlés du premier rencontrent respecn'i^ement trois côtés du second en trois points situés en ligne droite : le point de rencontre des quatrièmes côtés est situé sur la même droite.

On peut dire encore : Si on déforme un quadrilatère inscrit à une conique f en faisant tourner trois de ses côtés autour de trois points situés en ligne droite : le quatrième côté tourne autour d* un quatrième point situé sur la même droite.

Si de ce quatrième point on mène une tangente à la conique, le point de contact sera le sommet d'un triangle inscrit dans la courbe, et dont les trois côtés passeront par les trois premiers points. Il résulte de là une solution trèssimple de cette question :

Inscrire dans une conique un triangle dont les trois côtés passent par trois points donnés en ligne droite,

La question admet deux solutions.

22. Théorème de Pascal. — Quand un hexagone est inscrit dans une conique, les points de concours des trois couples de côtés opposés sont en ligne droite.

Soit abcdef (fig. 9) l'hexagone. Les deux faisceaux de quatre droites a(bj c, e,/) et rf(i, c, e, /) qui partent des sommets opposés a, rf, ont le même rapport anharmoniquc (4). Changeant l'ordre des droites du second faisceau, nous dirons que