CT'B^'-Â/-' (G

Et multipliant membre à membre,

kb,kb' Cfl.Cû' B7.B7'

Cb,Ch[ Bfl.Bfl' A7.A7'

(*) Géométrie de positiony p. 437*

Mais le quadrilatère ahV a* étant inscrit dans la conique, la transversale AB coupe ses côtés et la courbe en trois couples de points A, B5 y, 7' et c, c' qui sont en involution (20) \ ce qu'on exprime ainsi,

A7.A7' kchc'

D'après cette équation, la précédente devient celle qu'il s'agit de démontrer. Donc, etc.

Obseivation, — Les points d'intersection de la courbe etdu côté ABpeuvent être imaginaires ; les rectangles Ac.A(/ et Bt'.Bc' sont réels, et la démonstration subsiste, puisqu'elle se déduit du théorème de Desargues (20). Mais elle ne s'applique pas, explicitement du moins, quand les points d'intersection de la courbe et des deux autres côtés sont aussi imaginaires. On complète la démonstration de la manière suivante dans les deux cas qui peuvent alors s<; présenter.

Cas du triangle dont un seul côté rencontre la courbe en deux points réels. — Soit AB (^g* 11) ce côté. Que du sommet C on mène la droite CD qui coupe la courbe en deux points rf, d\ et la base en D. Chacun des deux triangles ACD, BCD a deux côtés rencontrant la courbe en des points réels; par conséqueiit la relation qui fait le sujet du théorème subsiste pour ces triangles, comme nous venons de lo faire remarquer. On a donc les équations

Ab.Ab' Cd.Qd' De. De'

C^.C^' Drf.D^' Ac.Ac' ' Cg.Cfl' Bc.Bc' Dd.Dd' __ Brt.B«' ' Dc.D< ' Cd.Cd' "~ ' '

En les mulli pliant membre à membre, on obtient l'équation qu'il s'agit de démontrer.

Cas du trianglv dont aucun côté ne rencontre la courbe.