CHAP. IL— THÉORÈMES GÉJNÉRAUX
— Que du sommet C (^ftg- iî^) on mène une droite CD qui rencontre la courbe en deux points d^ //', et la base en D. On a deux triangles ACD, BCD qui donnent lieu aux deux équations précédentes, et d'où se conclut de même la relation qu'il restait à établir.
Ainsi le théorème se trouve démontré dans tous les cas.
Remarque, — Si F un ou deux des côtés du triangle reucontrent la conique en des points situés à l'infini, le rapport des segments comptés sur chaque côté à partir du point à l'infini devient égal à l'unité, et réc[uation subsiste entre les autres segments.
Relation homogène entre les distances de chaque point d'une conique à trois droites fixes.
24. // existe entre les distances p, q, ide chaque point d'une conique à trois droites Jixes^ une relation homogène du second degré, telle que
dans laquelle P, Q,. . . sont des coefficients constants.
En effet, soient a, £, c, d [Jig- i3) quatre points de la conique. Considérons les quatre droites ah^ bc, cd^ da. On sait (G. S., 435, 47o) qu'il existe entre les distances Je chaque point d'une même droite h trois droites fixes une relation homogène du premier degré, qu'on appelle V équation de la droite. Soient
les équations des quatre droites.
Soit enfin ni un cinquième point de la conique. La droite am passant par le point a, son équation doit être satisfaite par les deux A = o, D = o simultanées, et con- ^équemment est de la forme
A-hAD=o.
L'équation de la droite cm est pareillement
B4-pC = o.
Lorsque le point m se meut sur la courbe, ces deux droites ûfîi, cm forment deux faisceaux homographiques (6). Par conséquent, il existe entre les deux coefficients X, fx une relation telle que
qui exprime qu'à un rayon du premier faisceau ne correspond qu'un rayon dans le second faisceau^ ce qui est le caractère des faisceaux homographiques. On a donc entre les coordonnées de chaque point m de la conique Téquation
ou
équation homogène du second degré, puisque les polynômes A, B,..., sont des fonctions homogènes du premier degré des coordonnées p^ q^ r. Ainsi le théorème est démontré.
Réciproquement : V équation homogène du second degré entre les distances p, q, r d'un point à trois droites fixes^
P;»'-*- Q^'-J- Rr^-h P'/?y 4- Q'^r + R'y/? = o,
représente une section conique.
En effet, soient encore a, b^ c^ d quatre points de la courbe, et A = o, B = o, C = o, D = o les relations homogènes du premier degré qui appartiennent aux quatre droites ai, ic, ce?, da. La courbe représentée par l'équation proposée passe par les deux points a, b qui sont les points d'intersection de la droite A et des deux droites B, D; par conséquent, l'équation doit être satisfaite par les deux A = o, B = o, et par les deux A = o, D = o. Elle doit donc se ra-
