CHAP. IL— TBÉORÈMES GÉNÉRAUX

mener à la forme

L étant un polynôme homogène du premier de^ré entre les trois variables /;, ^, r. Mais, la courbe passant parle pointe, intersection des deux droites B, C, son équation doit être satisfaite par les deux B = o, C = o; ce qui montre que le polynôme L n.est autre que C. Ainsi Téquation proposée est nécessairement de la forme

Or on peut écrire, quelle que soit une arbitraire X,

C(A + >.aD)H-aD(B — XC) = o; et Ton satisfait à cette équation en posant à la fois

A-hX.aD=:o et B — X.C = o.

Ces équations, on le voit, sont celles de deux droites qui passent respectivement par les deux points a et c, et ont leur point d'intersection sur la courbe proposée. Ces deux droites, dont la position variable ne dépend que du coefficient X, forment deux faisceaux bomographiques, parce qu'à une droite du premier faisceau ne correspond qu'une droite dans le second faisceau, et réciproquement. Donc leur point d'intersection décrit une conique (8). Donc, etc.

Équation de Descaries.

25. Il existe entre les distances de chaque point d'une conique à deux axes/ixes, une relation du second degré^ ^clk que

Px^ H- Qxy -f- Rj> + P'^ 4- Q'jr -h R' = o.

En effet, soient toujours a^ h, c^d quatre poiuts de la

conique, et représentons par A=o, R = o, Ç = o, = 0les équations en a?, y des quatre côtés consécutifs ah^ bc^ cdy cla du quadrilatère abcd.

Les distances d'un point (x^y) de la courbe à ces quatre droites sont, comme on sait, proportionnelles aux polynômes A, B, C, D. On a donc, d'après le théorème de Pappus (19),

équation du second degré. Donc, etc.

Réciproquement : L équation du second degré entre les coordonnées x^ y, représente une conique,

La démonstration est la même que précédemment (24).

§ IL — Théorèmes relatifs aux tangentes d'une conique.

26. Théorème corrélatif de celui de Pappus. — Quand un quadrilatère est circonscrit à une conique^ le produit des distances d^une tangent^ quelconque à deux sommets opposés et le produit des distances de la même tangenfe aux deux autres sommets, sont en raison constante*

Soit ABB'A' [fig> i4) 1^' quadrilatère circonscrit, et mm* une tangente quelconque qui rencontre les deux côtés opposés AB, A' B' aux deux points w, m'. Ces points variables font sur les deux côtés deux divisions homographiques (7). A, A' sont deux points correspondants; il en est de même de B, B'. Les deux divisions s'expriment donc par la relation

^B=^17F (G.^.,arull5).

Or, en désignant par y?, q^ p\ (j les distances des sommets A, B, A', B' à la tangente mw', on voit sans peine que

m' ni

const,

CUàP. IL— TBÉORÈMFS GÉNÉRAUX. i5

27. Théorème corrélatif de celui de Desargues. — Quand un quadrilatère est circonscrit à une conique^ si d'un point on mène des droites à ses sommets et deux tangentes à la courbe: ces deux tangentes et les deux couples de droites aboutissant aux sommets opposés du quadrila^ tère sont en inuolution.

Soit abcd (Jig. 1 5 ) le quadrilatère circonscrit. Les points de rencontre des tangentes à la courbe et des deux côtés rti, ce? formeront (comme dans la proposition précédente) deux divisions homographiqucs. Les droites menées d'un point 0, pris arbitrairement, à ces points formeront dès lors deux faisceaux homograpliiques, dont les rayons doubles OE, OF (réels ou imaginaires) seront les tangentes à la conique (17). Or, les sommets a, rfsont deux points correspondants des deux divisions homographiques , ainsi que les sommets ft, c. Donc les droites Oa, Odei OZ>,Oc sont deux couples de rayons correspondants des deux faisceaux homographiques. Donc les trois couples de droites 0«, Oc; Oi, Orfet OE, OF sont en involution (G. 5., 2o9). Donc, etc.

Observation, — On conçoit bien qu'on peut remplacer, dans l'énoncé du théorème, les droites aboutissant à deux sommets opposés du quadrilatère, par celles qui seraient menées aux points de concours des côtés opposés. Car ces points et deux sommets opposés sont les quatre sommets d'un second quadrilatère circonscrit, aec/'par exemple.

Il est presque superflu de faire remarquer que si le point Oest sur uue des diagonales ou sur la droite qui joint les points de concours des côtés opposés du quadrilatère, cette ligne devient un des rayons doubles de Tinvolution.

Corollaire. — Quand deux quadrilatères sont circonscrits à une conique^ si les droites qui Joignent trois ^^ommets du premier à trois sommets du second^ passent par un même point, la droite qui joindra les quatrièmessommets passera par ce point.

a6 TRAITÉ DES SECTIONS COjyiQUES.

En d^autres termes : Quand on déforme un quadrilatère circonscrit à une conique, en assujettissant trois de ses sommets à glisser sur trois droites concourant en un même point : le quatrième sommet décrit une quatrième droite qui passe aussi par ce point.

De là résulte une construction simple de ce problème : Circonscrire à une conique un triangle dont les trois sommets soient situés sur trois droites données concourant en un même point.

28. Théorème de M. Briakchon. — Quand un hexagone est circonscrit à une conique, les diagonales qui joignent les sommets opposés passent par un même point (*) .

Soit abcdef (fig* i6) Thexagoue; les deux côtés opposés ab^ de rencontrent les quatre autres en deux séries de quatre points «, i, e, cî et a, 6, e, r/ qui ont le même rapport anharmonique (7). Changeant Tordre des points de la seconde série (G. 5., 40), nous dirons que

(a, b, £, $) = {e, d, cl, 6).

Conséquemment le point d'intersection des deux droites ady be-^ celui des deux a a, ee, et celui des deux 66, dd^ sont situés sur une même droite (G. 5. , 108) ; en d'autres termes, le point de rencontre des deux diagonales arf, be est situé sur la diagonale cf. Ce qui démontre le théorème énoncé. Autrement. Soit O le point de concours de deux côtés opposés de l'hexagone ab^ de. Ce point est le sommet com-

{*) Ce ihéorème a été donné par M. Brianchon, ancien élève de TÉcoli Polytechnique, dansleXIII® cahier du Journal de cette École p. 3oi, anné< i8o6. L'auteur l'a conclu, par la considération des pôles dans les coniques du théorème de Pascal, dont il est effectivement le corrélatif. Cette démons tration parait être la première application de la théorie des polaires récîpro ques, qui depuis a reçu une si heureuse extension. Voir Aperçu historiifue, etc. p. 319 et 370.

CHAP. n.— THÉORÈMES GÉNÉRAUX. 27

munde deux quadrilatères Oafe etObc/i circonscrits à la conique. Les droites ad, eb qui joignent les deux sommets â, e da premier à deux d^ b du second, se coupent en un point, par lequel rien n'empêche de faire passer la droite qui joint les deux sommets coïncidant en O. Par conséquent, la droite /c qui joint les quatrièmes sommets des deux quadrilatères passe par le même point (27, CorolL). Ce qui démontre le théorème.

29. Théorème corrélatif de celui de Carnot. — Qiiand un triangle est tracé dans le plan d^une conique, si de ses sommets on mène des tangentes à la courbe, on aura entre les sinus des angles que ces tangentes font avec les côtés du triangle, la relation suivante, dans laquelle A ^ B, C (fig» 17) sont les trois côtés du triangle^ et a, a'; o, 6' et y, / les trois couples de tfingentes menées par les sommets opposés :

âD(A,e).sin(A,6^) sin (C,a).sin(C,a^) sin(B,7).sin(B,7') __ sin(C,6).sin(C,6'J*sin(B,a).sin(B,a')'sin(A,7j.sin(A,7')~"

La démonstration, calquée sur celle du théorème (23), D6 présente aucune difficulté.

Relation homogène entre les distances de chaque tangente d^une conique à trois points fixes.

30, Étant pris trois points fixes dans le plan d^une conigucy il existe entre les distances p, q, r de chaque tangente à ces trois points, une relation homogène du second degré, telle que

Soit {fig* 18) un quadrilatère abcd circonscrit à la conique. Une tangente à la courbe rencontre les deux côtés ab^ <^»en deux points m, n.

28 TRAITÉ DES SECTIONS COiNIQUES.

On sait que si autour d'un point, a par exemple, on fait tourner une droite, ses distances p^ q^ r aux trois pôles fixes sont liées par une équation homogène du premier degré, qu'on peut regarder comme Y équation de ce point (G. *S., 451, 495). Soit A = o cette équation, et soient de même B = o, € = 0; D=o les équations des autres sommets è, c, d du quadrilatère abcd.

L'équation du point tn situé sur la droite ab est nécessairement de la forme

car elle doit être satisfaite par les deux équations A = o, B = o, dont l'ensemble représente la droite ah (*).

De même l'équation du point n est

Or, si la tangente roule sur la courbe, les deux points variables m^ n forment deux divisions homographiques (7) : ce qui exige qu'il y ait entre les deux coefficients X et ^ une relation telle, que

«>|X -h ^^ 4- Cp -f- éf =r o»

C*) Chaque système de valeurs des trois variables /?, </, r dans une équation homogène du premier degré Â =: o, détermine une droite; et toutes ces droites passent par un même point (G. S., 451 et 495) : ici c'est le point a.

De même, l'équation B=o détermine une infinité de droites passant toutes par le point h. Il s^ansuit que l'ensemble des deux équations représente la droite ab-^ c'est-à-dire que le système de valeurs des trois variables Pf 7, r qui satisfont aux deux équations à la fois, détermine la droite ah.

Et il suit de là que tous les points de cette droite ont leur équation nécessairement de la forme A -h A.B = o, ^ étant un facteur variable avec chaque point. Car cette équation est celle d'un point ; c'est-à-dire que tous les systèmes de valeurs des trois quantités p^ q^ r qui satisfont à l'équation déterminent des droites passant toutes par un môme point. Or la droite ah est une de ces droites qui satisfont à l'équation. Le point est donc situé sur cette droite.