CHAP. II. -^THÉORÈMES GÉNÉRAUX

dans laquelle chaque variable X et fz n'entre qu'à la première puissance, puisque à un point de la première division ne correspond qu'un point de la seconde, et réciproquement.

En substituant pour i et fz leurs valeurs, on voit qu'il existe entre les quatre polynômes A, B, . . . , la relation

ou bien

équation homogène. Donc, etc.

Réciproquement : Toute équation homogène du second degré entre les distances d'une droite h trois points fixes exprime que cette droite^ dans toutes ses positions, eni^eloppc une conique.

En effet, soit abcd le quadrilatère formé par quatre positions quelconques de la droite. Soit A = o la relation homogène du premier degré qui a lieu entre les distances Pj 9, r de toute droite menée par le point a, aux trois pôles fixes (G. *S. , 451 ) ; et de même B = o, C = o, D = o, les équations relatives aux points 6, c, d.

La courbe proposée étant tangente à la droite «6, qui joint les deux points 6, «, son équation, c'est-à-dire la relation donnée entre les trois variables/^, q^ r dont chaque système de valeurs détermine une tangente à la courbe (G. S.j 49S), doit être satisfaite par les deux A = o, B = o, dont les racines appartiennent à la droite ab. L'équation de la courbe est donc de la forme

R.L-+-aA.L' = o;

L et L' étant des polynômes du premier degré entre 1rs variables p, q^ r.

Mais la courbe étant aussi tangente à la droite ic, son équation doit être satisfaite par les deux B = o, C = 05 ce

3o TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES,

qui exige que V ne soit pas différent de C. Et enfin, la courbe étant tangente à ad, son équation doit être satisfaite par les deux A=o, D = 05 d'où Ion conclut que L = D. Ainsi l'équation proposée se ramène nécessairement à la forme

On peut l'écrire, quel que soit un facteur X,

et l'on satisfait à celle ci en faisant

B-|->.a.A=:0 et C — >.D = o.

La première équation représente un point m situé sur la droite aè, et la seconde un point n situé sur la droite cd : de plus la droite mn est une tangente à la courbe représentée par l'équation proposée. Or ces deux points dépendent de la même variable X ^ et cette variable n'entrant dans les équations qu'au premier degré, il s'ensuit qu'à un point m de la droite ab ne correspond qu'un point n sur cd, et réciproquement; ce qui est le caractère des divisions homographiques. Les deux points w, n formentdonc deux telles divisions ; et conséquemment la droite mn enveloppe une conique. Ce qui démontre le théorème.

§ III. — Systèmes de deux droites ou de deux points considérés comme représentant une conique.

31. On a coutume de considérer un système de deux droites comme formant une section conique, parce que, en effet, la section d'un cône par un plan devient l'ensemble de deux droites quand le plan passe par le sommet du cône; ou bien encore, parce que, en Géométrie analytique, le système de deux droites s'exprime par une équation du second degré, de même que les sections coniques.

CHAP. IL— THÉORÈMES GÉNÉRAUX. 3i

Ici nous dirons que le système de deux droites peut être considéré comme formant une section conique, parce que les diverses propriétés relatives aux points d'une section conique, démontrées dans ce Chapitre et dans le précédent, appartiennent au systèmede deux droites. Ce que Ton vérîBe sans difficulté.

Par exemple, les droites menées de quatre points fixes pris sur l'une des deux droites, à un point quelconque de la seconde, ont toujours le même rapport anharmonîque, qui est égal à celui des quatre points fixes.

On peut encore dire que si autour de deux points do l'une des droites on fait tourner deux rayons qui se coupent toujours sur l'autre droite, ces rayons formeront deux faisceaux homographiques, comme dans les sections coniques.

On vérifie avec une égale facilité que le théorème de Pappus a lieu pour un quadrilatère inscrit à deux droites. Et il en est de même des théorèmes'de Desargues, de Pascal et de Carnol.

En outre la propriété des coniques relative aux distances dechaque point de la courbe à trois axes fixes, qui ont entre elles une relation homogène du second degré (23), s'applique de même au système de deux droites 5 ce qui résulte visiblement de ce qu'il existe une équation homogène du premier degré entre les distances de chaque point d'une même droite anx trois axes fixes [G. 5., 4-75) .

Ainsi toutes les propriétés générales d'une conique relatives aux points de la courbe sont aussi celles d'un système de deux droites.

Quant aux propriétés relatives aux tangentes, elles ne sont pas susceptibles d'application à ce cas particulier, parce que toutes les droites qu'on peut considérer comme tangentes à la conique représentée par le système de deux droites, sont, outre ces deux droites mêmes, toutes celles qui

passent par leur point d'intersection. Elles forment donc un