Si le quadrilatère se réduit à un angle circonscrit à

la conique, comme il a élé expliqué ci-dessus (65), le théorème général se particularise ainsi :

Quand un angle est circonscrit à une conique, si d'un point on mène deux tangentes à la courbe, et deux d/vites aux points de contact des cotés de l'angle, Vinvolution déterminée par ces deux couples de droites aura pour l'un de ses rajons doubles la droite menée du même point au sommet de V angle.

70. Ce théorème donne immédiatement la solution du problème suivant :

Construire une conique tangente à trois droites et passant par deux points donnés.

Sgient L, U, V les trois droites et a, b les deux points. On déterminera les tangentes à la conique en ses deux points a, & ; ce qui se ramène à trouver le point de concours de ces tangentes.

A cet effet, que par le point d'intersection O des deux droites L, \J on mène les droites Oa^ 0&, et les rayons doubles de Tinvolution déterminée par les deux couples L, L' et Oa, Oi : le point cherché sera sur l'un de ces deux rayons (69). .Opérant de même avec les deux droites L, U\ on obtiendra deux autres droites sur chacune desquelles devra se trouver aussi le point cherché. Chacun des quatre points de rencontre de ces deux droites par les deux premières satisfera donc à la question, c'est-à«dire sera le point de concours des tangentes à la conique demandée, en ses deux points a, t. Ainsi le problème est résolu et admet quatre solutions.

Obsen^ation, — Pour que les solutions soient réelleà, il faut que les deux points a^ b soient, tous les deux à la fois, dansTintérieiir du triangle formé par les trois tangentes^ ou bien tous les deux extérieurs au triangle, mais alors

CHAP. m. — GOROLL. DES THÉORÈMES GÉNÉRAUX. 5g situés l'un et Tautre dans un des trois angles du triangle, ou Fun dans un angle et Tautre dans Topposé au sommet. La raison de cela est qu^il faut que Tangle des deux droites menées d'un sommet du triangle aux deux points a, b n'empiète pas sur l'angle du triangle (G. 5., 244 et 210).

Les deux points a, b peuvent être imaginaires^ la construction subsiste encore et les quatre solutions sont toujours réelles.

On remarquera que la construction exige en outre que les trois droites soient réelles, puisqu'on les combioe deux à deux. Nous donnerons plus tard une construction qui permettra de supposer deux des droites imaginaires aussi bien que les deux points.