SIX

71 . Corollaires du tliéorème fie M. Brianchon . — Quand un hexagone est circonscrit à une conique, un côté s'inclinantde plus en plus sur le côté suivant, le sommet qui est leur point d'intersection s'approchera indéfiniment de ia courbe : et, à la limite, où les deux côtés ne seront qu'une même tangente, ce sommet deviendra le point de contact. II s'ensuit qu'un pentagone circonscrit à une conique peut être considéré comme un hexagone circonscrit dont un des sommets est le point de contact d'un des côtés. Pareillenient un quadrilatère circonscrit sera considéré comme un hexagone dont deux sommets sont les points de contact de deux . côtés. Et enfin un triangle circonscrit sera considéré comme un hexagone dont trois sommets sont situés aux points de contact des trois côtés.

72. Si l'on réduit l'hexagone au pentagone, on obtient Que solution très-simple de ce problèihe : Étant données ^inq tangentes d'une section conique, troui^er le point de contact de' chacune d^ elles.

6o TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES.

Les cinq tangentes forment un pentagone abcde (fig> 4')' Donc, en considérant le point de contactyde la cinquième tangente ea comme le sommet d'un hexagone, la droite menée de ce point au sommet opposé c passera par le point de concours des deux diagonales ad^ be. Cdnséquemment ce point de contact sera déterminé.

73. Lorsque dans un quadrilatère circonscrit à une conique on regarde les points de contact de deux côtés opposés comme deux sommets d'un hexagone circonscrit, on en conclut que :

Quand un quadiil/itère est circonscn't à une conique, les droites qui joignent des points de contact des côtés opposés passent par le point de rencontre des deux dia^ gonales,

74. Les points de contact des côtés d'un triangle circonscrit à une conique peuvent être regardés comjne les sommets d*un hexagone circonscrii -, il en résulte que :

Quand un triangle est circonscn't à une conique, les droites menées de ses somniets aux points de contact des côtés opposés passent par un même point.

75. Corollaires du théorème corrélatif de celui de ' Camot. — Si le sommet c opposé au côté C du triangle (29)

est situé sur la conique, les deux tangentes y, /, coïncident avec la tangente en ce sommet, et Téquation devient

sin(A, 6).sin(A, 6^ sin(C, aj.sin (C, a') sin»(B, 7) sin^C, 6).sin(C, €') sin(B, a).sin (B, a') sin*(A,7)

^, , . - . Al sin I A, 7)

Celle ecjuation tail connaître le rapport -r~-- — ^5 et par

CHAP. in. — CORpLL. DES THÉORÈMES GÉNÉRAUX. 6i coQséquetil la direction de la tangente au point c de la conique, quand on connaît les quatre tangentes a, a\ o, &. Ainsi elle résout -ce problème :

Connaissant quatre tangentes et un point d'une conique, déterminer la tangente en ce point.

L'expression de ■ . | ■■ a deux valeurs, par conséquent

le problème admet deux solutions, comme nous Tavons

déjà vu (67).

76. Cherchons ce que devient T^quation générale (29) quand le côté C ouab du triangle est tangent a l'a conique.

Désignant par I dans le cas général (fig- ly) le point

d'intersection des deux tangentes a' et 6', on voit que

sinfC, 6') ai. .,, . , 11 .

-r-7- — - = — : et Lequation peut se changer en celle-ci sin(C, a) bi^ ^ ^ ^

sin(A* 6).sin(A,6'j sin^'C, a) sin (B, 7) .sin(B, 7) ai

sin(B, a), sin (B, a') sîn(C, 6) sin (A, 7).sin(A, 7J ~" bi'

Mais ce point /, quand Iç côté C ou ab devient tangent à la conique, est précisément le point de contact. L'équalion le fait connaître, car le premier membre est connu. Elle sert donc à résoudre ce problème :

Étant données cinq tangentes à une conique, déterminer le point de contact de chacune d'elles.

77. On peut supposer qu'un sommet, ou deux, du triangle abc soient à Tinfini.

I. Soit le sommet a {fig* 4^) à l'infini : les tangentes issues de ce sommet sont parallèles aux côtés B, C, et rencontrent la base A en deux points a, a'. On a, dans cette hypothèse,

sin (A, 6) . sin (A , ^') sin (B, 7). sin(B, 7') ca .ccf! .

sin (C, 6) . sin (C, 6') ' sin (A, 7) . sin (A, 7') ' TITbi' "~ ^ '

62 TRAITÉ DES SECTIONS œNÏQUES. *

n. Si les deux sommets a^ b an triangle sont à Tinfinî (fis* 43), les tangentes issues de ces sommets rencontrent les côtés A et B respectivement en des points a, a' et 6, &^ et la relation se réduit à

sîn (B, 7). sin (B, 7') col.col'

sin(A, 7). sin(A, 7') <?6.c6'

Conséquences des deux théorèmes (23) et (29) considérés simultanément.

78. Quand les trois*cotés d'un triangle rencontrent une conique y les droites menées des sommets aux points de rencontré^des côtés opposés sont six tangentes d'aune même conique, . • • '

En effet, une conique rencontrant Jes trois côtés d'un triangle ABC en des points a, a', t, b\ c, c', les segments interceptés ont la relation •

kb.kb' Ca,Qa' Bc.Bc^ C^.C6'*Bfl.Ba' * Ac.Ac'""* ^ ^'

Mais les trois droites A a, Bi, Ce entraînent celle-ci

A^ Qa Bc sinAB^ sînCAa sin BCc

C^'bÂ'Ac siHCB6 * sinBAfl ' sin ACc ^ ' ** '*

Les. trois droites Aa', BJ', C</ donnent une relation semblable. On a donc

sinABè sinABè' sin CA g . sin CA/i^ siaBCg.sinBCc^ sinCB^ .sinCB^' sinBAfl.sioBAfl' sin ACc. sin ACc' '

équation qui projiveque les six droites A/z, Aa',. . . sont tangentes à une même conique 5 car la réciproque du théorème (29) est évidente.

La réciproque du théorème actuel Test également.

CHAP. ni. — COROLL. DES THÉORÈMES GÉNÉRAUX. 63

79. Observation. — Dans le théorème (23) la conique peut être Tensemble de deux droites-, et dans le théorème (29) la conique peut être infiniment aplatie, c'est-àdire se réduire à une droite limitée à deux points (32).

11 suit de cette dernière hypothèse que :

Si de deux points pris arbitrairement on mène des droites aux trois sommets d ^un triangle , les six points dans lesquels ces droites rencontrent les c^tés, respectivement opposés aux sommets, sont situés sur une conique (*).

Ainsi, par exemple, les points ^milieux des côtés d'un triangle et les pieds des perpendiculaires abaissées des sommets opposés sur ces cotés sont six points situés sur une conique.

(*)Ge théorème a été démontré par M. Steiner dans les Annales de Mathématiques de M. Gergonne, t. XIX, p. 3, année 1838.