CHAPITRE IV

EXTENSION DES THÉORÈMES GÉNÉRAUX. - DESCRIPTION ORGANIQUE DES CONIQUES. - THÉORÈMES DE NEWTON, DE MACLAURIN ET DE*BRAIKENRIDGE. ~ GÉNÉRALISATION DE CES THÉORÈMES.

80. Quand un polygone d'un nombre pair de côtés est inscrit dans une conique y le produit des distances de chaque point de la courbe aux côtés de rang impair et le produit des distances du même point aux côtés de rang pair y sont en raison constante.

Démontrons que si le théorème a lieu pour un polygone de im côtés, îl aura lieu pour un polygone de deux côtés de plus.

Soit AB. . .EF. [Jig* 44) 'g polygone de am côtés; remplaçant le dernier côté FA par trois côtés consécutifs FG, GH, HA, on passe au polygone AB. . .FGHA de am-h 2 côtés.

Appelons a, J, . . . , y, g^ ft, les distances d'un point m de la courbe aux côtés consécutifs AB, BC, ... ., FG, GH, HA; et cj) sa distance à la diagonale FA. On a, par hypothèse, dans le premier polygone AB. . .FA, la Velation

, — = constanle =:= a.

Mais on sait, par le théorème de Pappus, que dans le qua-

CHAP. IV. — EXTENSION DES THEOR, GÉNÉRAUX. 65 drilalère AFGH

VA- = constante = a, (19).

Mnltipliaiit membre a membre ces deux équations, on

obtient

— - = A . pi =r constante.

b.fL.f.h Ce qu'il fallait démontrer.

81. Un côté du polygone, tel que AB, peut devenir iniiniment petit et se confondre avec la tangente eu A. Un autre côté CD, non contigu à AB, peut aussi se confondre avecla tangente*, et ainsi des autres. De sorte que, parexeno» pie, tous les côtés de rang impair peuvent devenir tangeuts à la courbe. Alors le théorème général exprime la propriété suivante :

Un polygone d'un nombre quelconque de côtés étant inscrit à une conique, le produit des distances de chaque point de la courbe aux calés du polygone et le produit (les distances du même point aux tangentes à la courbe menées par les sommets du polygone, sont en raison constante.

82. Le théorème de Desargues (20) admet la généi^lisaiion suivante :

Quand un polygone d*un nombre pair de côtés est in^ ^crit dans une conique, si l'on mime une transversale qui ^ncoTitre la courbe en deux points : le produit des seg^ fnents compris entre Vun de ces points et les côtés de rang pair est au produit des segments compris entre le même point et les côtés de rang impair, comme le produit des s-gments compris entre le second point de la courte et les