J6 TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES
cétes de rang pair est au produit des segments compris entre ce point et les côtés de rang impair.
Ainsi soient ABCDEF le polygone, et a, 6, y, 5, e, (f les points de rencontre de ses côtés consécutifs A6, 6G, . . . par la transversale; m et m' les points de rencontre de la conique : on aura
ma,my .ni€ m'a^m'y.m's
Nous allons prouver que si le tliéorème a lieu pour un polygone de 2 m côtés ABCD, il sera vrai pour un. |>olygone de deux côtés de plus.
En effet, si dans le polygone de ^ m -h 2 côtés on iliène une diagonale AD qui retranche trois côtés AF, FE, ED, elle décompose le polygone en un polygone de 2 m côtés, et un quadrilatère. Formant les deux équations qui ont lieu pour ce polygone par hypothèse, et pour le quadrilatère par le théorème de Desargues, et multipliant ces deux équations membre à membre, on trouvera Féqualion à démontrer.
83. Quand un polygone ABCD. . . est tracé dans le plan d'une conique qui rencontre ses cotés AB, BC, . . . en des couples de points a, a'; b, b'; c, c';. . . 07/ a /Vquation
Aa.Aa' Bb.Bb' Cc.Cc'.., __ Ba.Ba' ' Cb .Cb' ' De. De',.. "" ''
En effet, on voit aisément que si le théorème est vrai pour un polygone de n côtés, il le sera pour un polygone d'un côté de plus. Car celui-ci se divisera, au moyen d'une dîa-' gonale qui retranche deux côtés, en un polygone de n côtés et un triangle. Le théorème aura lieu pour ce polygone et pour le triangle; et en éliminant des deux équations relatives à ces deux figures, les segments faits sur la diagonale qui est leur côté commun, on obtiendra Téquation relative
CHAP. IV. ^EXTENSION DES THÉOR. GÉNÉRAUX. 67 au polygone de n -h 1 côlés. Donc le théorème, étant vrai pour le triangle (^)j l'est aussi pour le quadrilatère, puis pour le pentagone, et ainsi de suite. Du reste, c'est pour un polygone quelconque que Carnot a démontré le théorème dans sa Géométrie de Position.
On voit sans difliculté de quels énoncés sont susceptibles les deux derniers théorèmes, si l'on suppose que des côtés du polygone deviennent infiniment petits, ainsi que nous l'avons fait (81).
Théorèmes corrélatifs.
84. Quand un polygone d'un nombre pair de côtés est circonscrit à une conique : le produit des distances d^une tangente quelconque aux sommets de rang pair et le produit des distances de la même tangente aux sommets de rang impair^ sont en raison constante.
85. Qiuind un polygone d'un nombre quelconque de côtés est circonscrit à une conique : le produit des distances de chaque tangente aux sommets du polygone et le pro-duit des distances de la même tangente aux points de contact des côtés du polygone, sont en raison constante.
86. Quand un polygone d'un nombre pair de côtés est circonscrit à une conique, si d'un point on mène des tan^ gentes à la courbe, et des droites aux sommets du polygone : le produit des sinus des angles que l'une des tan-gentes fait avec les droites menées aux sommets de rang pair est au produit des sinus des angles que la même tan'gentefait avec les droites menées aux sommets de rang impair, dans un rapport qui reste le même quelle que soit celle des deux tangentes que l'on a prise.
