Ç^uand un polygone ABC. - . F e^f tracé dans le

plan d'une conique, si de ses sommets A, B,. . « on mène les couples de tangentes à la courbe, a^ (x!\ 6, 6' ; . . . , o// aura la relation

sin(AB, a]sin(AB, (x) sin (BÇ, 6)siD(BC, 6^) 8in(AF, a)8in(AP, (x!) ' sin(BA, 6) sin(BA,'6') ''

Ces propositions sont l'extension des théorèmes 36, 27 et 2d. Leur démonstration est tout à fait semblable à celle des propositions précédentes (80-83), et conséquemment n'offre aucune difficulté.

§ II. — Description des coniques considérées comme lieux ^ géométriques.

Description organique de Newton.

88. Quand deux angles de grandeur constante aOA, aCA (fig' 45)» tournent autour de leurs sommets fixes O, Cy, de manière que leurs côtés Oa, Ca se coupent toujours sur une ligne droite donnée L : les deux autres côtés Oh ^ O'A se coupent sur une conique qui passe par les sommets Q, O' des deux angles.

En effet, quand le point a glisse sur la droite L, les deux droites Oa, O'a forment deux faisceaux horaographiques. Mais les droites OA, c'est-à-dire les positions du second côté de. l'angle O, constituent un faisceau homograpbique au faisceau des droites Oa; et pareillement, le faisceau des droites O'A est homograpbique à celui des droites O'a. Donc les deux faisceaux dont les rayons sont OA, O'A, sont homograpbiques. Donc ils se coupent sur une conique qui passe par les deux points O, O'. Ce qu'il fallait démontrer.

C'est ce théorème que Newton a donné sous le titre de Descjiption organique des coniques, parce qu'au moyen

CHAP. IV. — EXTENSION DES TliÉOR. GÉNÉRAUX. 69 (l'un instrumeiii fopmé de doux angles tournant autour de leurs sommets on décrit une conique d'un mouvement conlinu (*).

Quand cinq points d'une conique sont donnés, la grandeur des angles qu'il faut prendre pour construire la courbe se détermine ainsi :

Soient A9 B,C,09 O' {fig» 46) les cinq points; on prend les angles COO', CO^O pour les deux angles mobiles; on les fait tourner autour de leurs sommets O, O^ de manière que leurs côtés OC, O'C soient dirigés sur le point A; alors leurs côtés OO', O'O se coupent en un point a. On dirige ensuite les côtés OC, O^C sur le point B, et les côtés 00\ CO se coupent en un point A. La droite ab est la droite directrice L sur laquelle glissera le point de rencontre des deux côtés qui se confondaient d'abord aveu la ligne .00'.

Remarque. — Si, dans le théorème général, il existe une position des deux angles telle, que les côtés OA, O'A coïncident avec OO', la courbe décrite n'est plus une conique, mais une ligne droite; parce que les deux faisceaux formés par ces côtés OA, O'A auront alors deux rayons homologues se confondant avec la droite qui joint leurs centres (G. «S., 105). On peut dire que la conique devient dans ce cas l'ensemble de deux droites, dont l'une est OO^; car cbaque point de cette droite, étant commun aux deux côtés OA, O'A quand ils coïncident avec elle, appartient au lieu géométrique cherché.

Ce cas particulier a été remarqué par Newton.

Théorème de Maclaurin et de Braikenrîdge.