Étant donnés trois points et deux droites fixes, si

{*) Voir Enumeralio linearum tertii ardinis, etc.

Von fait glisser sur les deux droites deux sommets d'un triangle de forme variable, dont les trois cCtés tournent autour des trois points fixes: le troisième somme t. décrira une conique.

En d'autres termes :

Si autour d^ un point fixe p (fig* 47 ) on fait tourner une transi^ersale qui rencontre deux droites fixes SL, SL' en deux points a, a', et que par deux points fixes O, C on mène les droites Oslj Ca', leur point d'intersection décrira une conique.

En effet, les points a, a' forment sur les deux droites L, U deux divisions homographiques ; les droites Oa, (Vof forment donc deux faisceaux homographiques. Donc le point de concours m de ces droites a pour lieu géométrique une conique qui passe par les deux points O, &.

Ce théorème a été démontré par Maclaurin (*) et Braikenridge ('*''*'), et a fait le suJ€t de quelques diseussions de priorité entre ces deux géomètres.

De même que le théorème de Newton, il procure un moyeu général de description d'une conique déterminée par cinq points.

En effet, la courbe ne passe pas seulement par les deux points O, (y ^ elle passe par lé point de concours S. des deux droites L, L', et par les points t, cf où les deux droites pCK, et pO rentontrent ces droites L, V respectivement : de sorte que la courbe a cinq points O, CK, S, b, c , connus à priori. Si ces cinq points sont donnés, on en conclut la position du point p autour duquel il faut faire tourner la transversale paa' pour déterminer un sixième point m.

(*) \ oir Exercitatio Geometrica de descriptione Unearum curvarum, AucthoreG. Braikenridcie. Londini, i7o3; in-4°. ^ Transactions philosophiques de la Société Royale de Londres , année 1 735.

{**) Transactions philosophiques de la Société Royale de Londres, année !735.

CHAP. IV. — EXTENSION DES THÉOR. GÉNÉRAUX. 7 1 SO. Celle considération a conduit Maclaurîii à une démonstimûofa du théorème de Pascal.

En effet, les six points O, CV, S, ft, c' et m sont les sommets d'ua hexagone 0(/Sb(ymO inscrit à U conique : les points de concours des côtés opposés de cet hexagone sont a (point de concours des deux c6tés mO, $&), p (point de concours de Ocf et bCÏ) et di! (point de concours de cfS et Ofm). Ces trois points a, p, i^ sont eti li^e droite. On en conclut donc que :

Dans unJwxagone inscrit aune conique ^ les trois pmnts de concours des côtés opposés sont en ligne droite.

Autres théorènlies analogues à celiii de Newton (88).*

91. 1^ On peut demander que les deux premiers c6tés d^ angles O, 0/ rencontrent ladnoite L en des points a, a\ toujours distants d'une même longueur «duz' ; ou Inen que oc segment ^aoit vu d'un point donné sous un angle donné : (Uns les denx cas le point d' intersection m des deux autres côtés décrira une conique.

2^ Si les deux premiers côtés Oâ^ O^u^ au lieu de se couper sur une droite, tournent autour des somniels O, O^ en faisant entre ettx un angle de grandeur confiante. Le point d'iniersecfion m des deux autres cafés décrira encore une conique.

3^ Si Von déforme un polygone^ de manière que tous ses sommets, moins un, glissent sur des droites^ et que tous ses côtés soient 'vus d'autant de points Jixes sous des angles donnés : le dernier sommet du polygone décrit une conique qui passe par les rhux points desquels on voit sous des angles donnés les deux côtés adjacents à ce sommet.

D'après cmb qui précède, la démonstration de ces théorèmes est bien facile; car on voit sur-le-champ que la courbe décrite est, dans chaque cas, le lieu des points d'in-

letsçeûon de deux rayons qui tournent autour de deitx points fixes en faisant des rapports anharmoniques ^aux.

Généralisation du théorème de Maclaurin et de Braikenridge.

92. Un polygone étant tracé dans un plan^ si on le déforme de manière que tous ses côtés tournent autour d'autant de points fixesy et que tous ses sommets, moins un, glissent respectivement sur des droitesjixes i le dejmier sommet décrira une conique qui passera par les deux points fixes autour desquek tournent les deux côtés appartenant à ce sommet.

Soit abcdem [fig. 48) le polygone dont les côtés ma, ai, . • • , em tournent autour des points P, Q,..., U, et dont les sommets a, b^. . ,^ e parcourent des droites fixes A, B, . . . , E< 11 faut prouver que le dernier sommet m déorît une conique passant par les deux points P et U.

En effet, dans la déformation du polygone, les deux droites Pâ, (^a décrivent deux faisceaux homographiques, puisqu'elles se coupent sur la droite fixe A. Nous dirons donc que le second côté du polygone décrit un faisceau homographique au faisceau décrit par le premier côté. Par la même raison le troisième côté décrit autour du point R un faisceau homographique au second, et par conséquent au premier; et ainsi de suite. De sorte que le dernier côté Vm décru un -faisceau homographique au faisceau décrit par le premier côté P/n. Donc le sommet m décrit une conique qui passe par les deux points P et U (8). Ce qu'il fallait démontrer.

Remarquons que le point d'intersection de deux côtés quelconques, non contigus, décrit aussi une conique qui passe par les points autour desquels tournent ces deux côtés.

Cela résulte de ce que ces deux côtés décrivent deux faisceaux homographiques.

CHAP. IV. — EXTENSION DES TUÉOR. GÉNÉRAUX. 78 Cette proposition générale a été démontrée par Maclaurin et par Braikenridge, dans les Transactions philosophiques de la Société Royale de Londres ^ année 1735.

93. Les points fixes P^ Q, . . . , U sont les sommets (l^an polygone de même nombre de côtés que le polygone mahc. . • eni\ et Ton peut dire que celui-ci est circonscrit à ce polygone PQR. . . U. Donc ;

Étant donné un polygone, si on lui circonscn't un polygone d*un même nombre de côtés, dont toius les sommets moins un glissent^ respeclix^ement, sur des droites fixes^ le dernier sommet décrira une conique,

GéDération des coniques considérées comme enveloppes d^une série de tangentes (*).

94. Etant données deux droites fixes, si Von insent entre elles des cordes qui soient vues d^un point fixe sous des angles égaux, tournant dans le même sens : ces cordes enveloppent une conique tangente aux deux droites.

95. Étant données deux droites fixes L, L' (fig* 49)^ si le 'sommet d'un angle dont les côtés tournent autour de deux points fixes P, P' parcourt une troisième droite M.: la droite aa' qui joint les points de rencontre des deux droites U L' et des deux côtés de V angle ^ enveloppera une coni- ?ue tangente aux deux droites L, V.

Si la droite PP' qui joint les deux points fixes passe par 'epoii^t dç concours S des deux droites L, L', les droites ai^ 11 euveloppent plus une conique ] elles passent toutes par '^ même point p (G. *S. , 38) . On peut dire que la conique *e réduit au système des deux points S et p (32), parce que

{*) Nous omettons ici les dcmonslrations, tont k fait conformes à celles de» 'héorèmcs précédenls, et qui ne pcuveul présenter aucune dinicullc.

tontes les droites qu'on peut mener par chacnn de ces points

satisfont aux conditions de la question.

Remarque, — La droite W est une tangente & la conique 5 car lorsque le point m, qui glisse sur la droite M, se trouve sur le prolongement de PP' la droite aci coïncide avec cette droite PP'.

Soient b et (/ les points d'intersection des deux droites L, L' par la droite M : les deux droites P'i, Pc/ sont deux autres tangentes a la conique. On a donc les six tangentes ai, JP', P'P, Pc', c'a', a'a, qui forment un hexagone abWda! circonscrit à la conique. Les sommets opposes sont b et c', a et P, a! el P'. Les deux droites aP, a'P' se croisent sur la droite M ou hc'. On en conclut donc que :

Quand un hexagone est circonscrit à une conique, les trois diagonales qui joignent les sommets opposés passent par un même point. Théorème déjà démontré (28).

96. Si tous les sommets d*un polygone sont assujettis à se mou\foir sur autant de droites Jixes , tandis que tous ses côtés, un seul excepté y tournent autour de points fixes : le côté libre du polygone roulera sur une conique, tangente aux deux droites sur lesquelles glissent les deux sommets appartenant à ce côté (*),

Remarque, — Tous les sommets du polygone divisent homographiquement les droites sur lesquelles ils glissent^ on en conclut que la diagonale qui joint deux sommets quelconques du polygone enveloppe une conique tangente aux deux droites sur lesquelles glissent les deux sommets,

97. Quand on déforme un polygone en faisant glisser tous ses sommets sur autant de droites fixes ^ de manière

( * ) Ce théorème a été démontré par M. Poncelet ( Traité des Propriétés projet tives, etc., p. 298).

CHAP. IV. *• EXTENSION DES THÉOR. GÉNÉRAUX. 75 (jue tous ses côtés, moins le dernier y soient vus y respecùx^ement, de certains points fixes sous des angles donnés : le dernier côté enveloppe une conique tangente aux deux droites sur lesquelles glissent les deux sommets qui appartiennent à ce côté,

Chacnne des diagonales du polygone enveloppe aussi une secdon conique.

Une partie des angles peuvent être nuls, de sorte cjue les côtés correspondants du polygone tourneront autour de points Gxes représentant les sommets de ces angles.

76 TRAnÉ DES SECHONS CONIQUES.