CHAPITRE V

THÉORIE DES POLES ET POLAIRES. - POINTS CONJUGUÉS; DROITES CONJUGUÉES. - QUADRILATÈRES INSCRTIS OU CIRCONSCRITS.- CORDES ISSUES D'UN BIÈME PŒNT.- ANGL£S INSCRITS AYANT LEURS SOMMETS SUR UNE MÉBŒ DROITE.

§ I. — Polaire d'un point.

98. Quand plusieurs cordes d'une conique passent par un même point :

1^ Les points de rencontre des droites qui joignent deux à deux les extrémités de deux cordes quelconques sont situés sur une même droite;

n^ Les tangentes aux extrémités de chaque corde se coupent sur cette droite ;

3** Cette droite est le lieu des points conjugués harmo* niques du point de concours des cordes par rapport aux extrémités de chaque corde.

Soient oa^, hV (,fig. 5o) deux des cordes; p lenr point de concours. Nous allons prouver d^abord que les deux points de rencontre m ein des droites qui joignent les extrémités de ces deux cordes, et le point de concours p des tangentes aux extrémités a, a\ de Tune d*elles, sont trois points en ligne droite.

En effet, les quatre droites qui partent du point a, savoir la tangente ap^ et les trois droites ai, ab\ ad ont lé même rapport anharmoni(jue que les quatre droites qui partent du point ol : ci a^ cih^ alV et la tangente dp (6).

CHAP. V.— THÉORIE DES POLES ET POLAIRES. 77 Changeant Tordre de celles-ci, nous dirons qne les deux faisceaux de quatre droites ap^ ah^ aV^ aol et 0';?, olh\ alh^ ola ont le même rapport anharmonique (G. <$., 40); et comme les deux rayons homologues aal et al a coïncident, les trois points d'intersection p^ /i, m des autres rayons, deux à deux, sont en ligne droite (G. «$., 43).

Maintenant observons que dans le quadrilatère ama! n le point a, intersection des deux diagonales mn, oof, est le coDJi^é harmonique par rapport aux deux sommets a, af da point p dans lequel la droite qui joint les points de concours b, 1/ des côtes opposés du quadrilatère rencontre la diagonale cu^ (G. «S., 341).

Diaprés cela, la droite mn se trouve déterminée au moyen d'une seule corde oo', puisqu'elle passe par le point de rencontre des tangentes'eh a et a! et par le point a, conjugué barmonique de p par rapport à ces deux points a, a'. Donc, quelle que soit Fautre corde ii', les points m, «, le point de concours de deux tangentes en b et l/y et le point S conjugué harmonique du point p par rapport kbetb^j sont situés sur la même droite.

Ainsi le théorème est démontré.

On peut renoarquer toutefois, à Tégard de la troisième partie du théorème, que la démonstration suppose réels les deux points <le rencontre de chaque transversale et de la conique; qu'elle laisse donc quelque chose à désirer. La démonstration suivante s'applique au cas où ces points sont imaginaires.

autrement. Ayant pris les deux droites paa\ pbV de manière à former le quadrilatère aalVb^- qu'on mène par le point p une troisième droite qui rencontre la courbe en deux points e, ^ (réels ou imaginaires), les deux côtés ab^ «'6' en c, c', et la droite nm en y. D'après le théorème de Desargues, les deux couples de points c, d et e, c', ot le point p, considéré comme point double, forment trois cou-

pies en involution (20) \ en d'autres termes, le point p est un des deux points doubles de Tinvolution déterminée par les deux couples c^ d et €, ç\ Or le point y est le conjugué harmonique de p par rapport aux deux points c, </, à cause de Taogle anal coupé par les deux transversales pa^, fiolV ( G. «S., iiO). Il est donc aussi le conjugué harmonique de p par rapport aux deux points £, ^ (|jr. S.^ 205). Donc quand une transversale tourne autour du point p^ le eon** jugué harmonique de ce point par rapport aux points de la conique (réels ou imaginaires) situés sur la transversale, décrit une droite; et les points de concours, tels que m et n, des droites qui joignent deux à deux les extrémités da deux cordes aal^ hV sont sur cette droite. Ce qui constitue la première et la troisième partie du théorème. Pour la seconde partie, relative aux points de rencontre des tan-> gentes, il suffit de remarquer qu'elle est une conséquence de la première; car si la transversale phV est supposée infi* niment voisine de paat^ les droites a&, cill deviennent les tajQgentes à la conique en a et d.

Ainsi le théorème est démontré complètement.

La droite mn est appelée la polaire du point p, et ce point, le pôle delà droite.

Remarque. — Quand la polaire rencontre la courbe, il est clair que la droite menée du pôle à chaque point de rencontre est la tangente en ce point à la courbe. EiTecdve^ ment si cette droite.rencontrait la courbe en un second point difrérent de celui-là, le conjugué harmonique de p par rapport à ces deux points ne coïnciderait pas avec le premier, <;omme ou le suppose.

99. D'après ce qui précède, on peut déterminer la polaire d'un point p de cinq manières :

1° En menant par ce point deux transversales et en prenant sur chacune d'elles le conjugué harmonique de p par

CHAP. V. — THÉORIE DES POLES ET POLAIRES. 79 rapport aux deux points où cette droite rencontre la conique : la droite qui joint les* deux points ainsi déterminés est la polaire;

0? En menant les tangentes aux points de rencontre de chaque transversale-, leur point dHntersection est sur la polaire;

3^ En joignant deux à deux par des droites les points de rencontre des deux transversales; les points de concours de ces droites sont sur la polaire ;

4^ En menant une seule transversale ; le point conjugué harmonique du point p par rapport aux deux points de rencontre de la conique, et le point de concours des tangentes en ces points déterminent la polaire ;

5^ Enfîn^ en menant par le point p deux tangentes à la conique ; la droite qui joint les deux points de contact est la polaire.

Le premier de ces cinq modes de construction est le plus général, en ce qu'il subsiste lors même que les points d'intersection des transversales et de la conique sont imaginoires.

Pôle d'une droite.

100. Si de chaque point d'une droite L on mène deux tangentes à une conique et la droite A conjuguée harmonique de L par rapport aux deux tangentes :

i^ Toutes les droàes A passent par un même point;

a® Les diagonales du quadrilatère J'ormé parles quatre tangentes issues de deux points de la droite L passent par ce point;

3^ Les cordes qui joignent les points de contact des tangentes issiies de chaque point de la divite L passent aussi par ce point;

4** Ce point est le pèle de la droite L.

Soit ABCD {fig. 5i) le quadrilatère formé par les tan-

8o TRAITÉ DES SECTIONS œNIQUES.

gentes à la conique menées par deux points E, F de là droite L. Nous allons prouver que si par un troisième point quelconque I de cette droite on mène la droite A conjuguée harmonique de L par rapport aux deux tangentes (réelles ou imaginaires) partant du point I, cette droite A passera par le point de rencontre G desdeux diagonales du quadrilatère ABCD.

En effet, les deux tangentes menées par le {>oint I, et les deux droites menées de ce point aux deux sommels o[^)oses A, C du quadrilatère déterminent une involution dans laquelle la droite lE, ou L, est un des rayons doubles (27). Celte droite et le second rayon double sont conjugués harmoniques par rapport aux deux lA, IC ((Jr. <$., 244) ; dpnc ce second rayon double est la droite IG. Car dans le quadrilatère ABCD, les deux sommets opposés A, G sont conjugués harmoniques par rapport au point G et au point G^ où la diagonale AC rencontre la droite EF (G. S. y 341). Donc cette droite IG et la première lE sont conjuguées harmoniques, par rapport aux deux tangentes à la conique. Ce qui démontre la première partie du théorème. La seconde partie se trouve établie en même temps, puisque le point, par lequel passent toutes les droites A, est le point de rencontre des diagonales du quadrilatère formé par les tangentes issues de deux points E, F pris arbitrairement sur la droite L.

La troisième partie du théorème est évidemment une cou* séquence de la seconde*, car si les deux points E, F sont infiniment voisins, une des diagonales du quadrilatère devient ia corde de contact de ses deux côtés issus du point E. D'ailleurs on a déjà vu que dans le quadrilatère circonscrit ABCD les droites qui joignent les points de contact des côtés opposés passent par le point de rencontre des deux diagonales

Il reste à prouver que la droite L est la polaire du point

CHAP. V. — THÉORIE DES POLES ET POLAIRES. 8i G. Or eela résulte de ce que les tangentes à la courbe aux extrémités des cordes menées par le point G se croisent en £, F,. « • sur la droite.

Donc, etc.

Obsetvation. — On voit aisément que quand la droite L rencontre la conique en deux points, le pôle de la droite est le point dé concours des tangentes en ces points.

101. On peut déterminer le p6le d'une droite Lde cinq manières :

1® On mène par deux points de cette droite des tangentes a la courbe et les deux droites conjuguées harmoniques de L par rapport aux deux couples de tangentes,- respectivement : le point de rencontre de ces deux droites est Le pôle cherché ;

2^ Le point de, concours des deux diagonales 4u quadrilatère formé par les quatre tangentes est le pôle cherché ^

3^ Le point de rencontre des deux cordes de contact des deux couples de tangentes est aussi le pôle cherché ^

4^ On mène par un seul point de la droite L les deux tangentes à la courbe^ et la droite conjuguée harmonique de L par rapport à ces deux tangentes : le point de rencontre de cette dioite et de la corde de contact des deux tangentes est le pôle cherché ;

5^ Enfin, on mène les tangentes à la courbe par lés points où la droite la coupe : le point de rencontre de ces deux tangentes est le pôle.

Le premier de ces cinq modes de construction satisfait k toiB les cas; que les deux couples de tangentes menées à la conique par deux points pris sur la droite donnée soient^ ou non, imaginaires.

Propriété relative à un point et à sa polaire.

102. Les polaires des différents points d'une droite passent toutes par le pôle de cette droite;

Et réciproqaenient : Quand des droites passent par un même point, leurs pôles sont tous sur une droite qui est la polaire de ce point.

Soit une droite L etpson p6le [fig^ Sa). Jedîs d'abord que la polaire d'un point a de la droite L passe pair le point p. Car la droite xp rencontre la conique en deux points a, d (réels ou imaginaires) ; et les deux points p et a sont conjugués harmoniques par rappibrt à ces points a, cf (98, 3^). Donc la polaire du point a passe par le point p. Donc, etc.

Eln second lieu, je dis que le pôle de toute droite pât menée par un point o se trouve sur la polaire de ce point. Car soit p ce pèle; la droite pp rencontre la conique en deux points m, m\ relatiTement auxquels les deux p, p sont conjugués harmoniques (96, 3*^). Donc le point p appartient a la polaire du point p. Donc, etc.

§11- — Points conjugués.

103. Nous appellerons points conjugués par rapport à une ocHiique^ deux points tds« que la polaire de Tnn passe par Tautre (*).

On peut encore dire que deux points conjugués par rapport à une conique, sont deux points conjugués harmoniques par rapport aux deux points d^intersection (réels ou imaginaires) de la conique et de la droite sur laquelle sont pris les deux points conjugués {98, 3**).

[^] Cette âénoniiuitiovi de p^ùJiTts ronft^ituîs 9e troo^e dans rcxeelleot Mémmre de M. O. HesM, t>e Cwrcù n SÙfu^'Scit'JmM Mecmmâi mrdimù (Voir ^^mml êe N«/Mr>M<i^»r^ de CtcIK l. X\ ; année iS^o). M. Ponceflct dit pMMfi rétiffn^qms^ dans le Traite des propriciés projetasses i p. 44, 198.