CHAP. V. — THÉORIE DES POLES ET POLAIRES

Observation, — Quand la droite qui joint deux points

coDJugués par rapport à une' conique rencontre la courbe,

l'un de ces points est toujours situé intérieurement à la

courbe, et l'autre extérieurement.

104. Trois systèmes de deux points conjugués pris sur une même droite forment une inv^ohttion.

Les deux points de chaque système sont conjugués harmoniques par rapport aux deux points de la conique (réels ou imaginaires) situés sur la droite^ donc les six points forment une. iuvolution dont ces deux points de la conique sont les points doubles (G. iS., 205).

105. II suit de là que plusieurs couples de points conjugués, sur une même droite^ forment deux div^isions homo^ graphiques en involution [G. aS., 236).

Conséquemment : Quatre points en ligne droite ont le même rapport anharmonique que les quatre points do ta même droite qui leur sont conjugués respectivement.

Si la droite ne rencontre pas la conique, les points dou* blés de Tinvolution seront imaginaires, et alors il existera, départ et d'autre^ dé la droite, un point d'où, l'on verra chaque couple de points conjugués sous un angle droit (G. 5., 204).

106: Le théorème (104) donne lieu à une solution trèssimple du problème suivant, qui, par ses conséquences théoriques, nous sera souvent utile :

Trouver les points d'intersection d'une conique et d 'une droite.

On prendra les polaires de deux points a, i de la droite : elles rencontreront cette droite en deux points a', b\ et on chwchera les points doubles de Tinvolution déterminée par les deux couples de points conjugués a^ a' et i, b\ Ces poinu doubles seront les points de la conique.

Droites conjuguées.

107. Deux droites telles, que le pôle de Tune, par rapport à unecouique,se trouve sur l'autre, seront dîtes droites conjuguées par rapport à la conique.

*0n peut encore dire que deux droites conjuguées par rapporta une conique sont deux droites conjuguées Iiarmoniques par rapport aux deux tangentes à la conique (réelles ou imaginaires) menées par le point de concours des deux droites. Car si le pôle d'une droite L est situé sur une droite I/, celle-ci sera la conjuguée harmonique dé L par rapport aux deux tangentes à la conique menées par le point déniersection S des deux droites (100, i®).

Remarque, — Une des deux droites conjuguées L, U rencontre toujours la courbe. Effectivement, si l'une,. L', ne la rencontre pas, son pôle est intérieur à la courbe, et conséquemment la droite L, qui passe par ce point, rencontre nécessairement la courbe.

108. Trois systèmes d^ deux droites conjuguées menées par un même point ^ forment une în^otution.

Les deux droites de chaque systèmesont conjuguées harmoniques par rapport aux deux tangentes^ à la coniqiie menées par le point de concours des six droites (107) : elles sont donc eu involution. Les deux tangentes (réeUies oa imaginaires) sont les rayons doubles de Tinvolution.

109. Il suit de là que plusieurs couples de droites conjuguées menées par un même point forment deux faisceaux homogrnphiques en im^olution (G. 5., 248).

Conséquemment : Quatre droites menées par un même point ont leur rapport anharinonique égal à celui des tùoiles conjuguées passant par ce point,

\ Hh Oti* sait (G. *S., 249) que dans deux faisceaux en

CHAP. V. —THÉORIE DKS POLES ET POLAIRES. 85 iiivolution il existe toujours deux rayons conjugues- rectangulaires. Donc : .

Par un point pn's dans le plan iVune conique passent toujours deux droites conjuguées rectangulaires,

111. Le. théorème (108) donne, une solution du problème suivant, qui, au point de vue théorique, sera utile :

Mener les tangentes à une conique par un point donné.

On mènera par ce point deux droites quelconques A, B et leurs conjuguées A', 6'. Et Ton cherchera h*s rayons doubles de Finvolution déterminée par les deux couples A, A' et B, B^ Ces rayons doubles (réels ou imaginaires) seront les deux tangentes à la conique.

Systèmes de trois points conjugués et de trois di cites conjuguées.

112. Quand deux points a, b {.fig* 53) sont conjugues par rapport à une conique, le pôle c de la droite ah Jb/me avec chacun d^eux un système de deux points conjugués.

Cela résulte de la définition des points conjugués (103), puisque les deux points a, b sont situés sur la polaire du point c.

On peut encore dire que : Les trois points a, b, cfotfnent un triangle dans lequel chaque côté a pour pôle le sommet opposé,

113. Il est clair que deux côtés quelconques du triangle abc sont deux droites conjuguées (107). De sorte que deux droites conjuguées et la polaire de leur point d'interr section sont trois droites conjuguées deux à deux.

114. Quand trois points sont conjugués deux à deux^ il y en a un nécessairement dans T intérieur de la courbe et les deux autres, au dehors.

Car, en^ ne considérant que deux des trois points, il y en

a toujours un des deux au dehors de^a courbe (i03, Obs,). La polaire de ce point rencontré la courbe; par conséquent, des deux autres points conjugués qui se trouvent sur cètle droite, l'un est situé dans l'intérieur de la courbe. I)onc, etc. Par suite : Quand trois droites sont conjuguées, deux à deuXf il y en a toujours deux qui rencontrent la courbe et une qid ne la rencontre pas.

H5. Si par deux points B, C (fig- 54) conjugués par rappoît à une conique y on mène deux droites qui se cou* pent en un point ql de la courbe : la corde bc, que ces droites interceptent dans Ui conique, passe par le pôle A de la droite BC.

En effet, les droites Ba, Ca rencontrent CA, CB,. respectivement, en 6 et y, La droite CA étant la polaire du point B, on a

On

Ba ta

7« ^ Cfl

fc Ce

Les deux systèmes de quatre points a, 6, &,;B et a, C, c, y, situés sur les deux droites aB, aC^ ont donc le même rapport anharmonique; et comme le point a, intersection des deux droites, est commun aux deux systèmes, il s'ensuit que les trois droites ic, C6 et B/ passent par im aiérae point (G. 4$., 38) ; c'est-à-dire que la corde bc passe par le point A. Ce' qu'il fallait prouver.

H 6. Si par les points de rencontre b, c, [Jig* 55) d'une tangente à une cotiique et de deux droites conjuguées AB, AC, on mène deux autres tangentes : le point de concours a de celles-ci sera sur la polaire du point A.

En effet, le point B étant le pôle de la droite AC, les deux

CHAP. V. —THÉORIE DES POLES ET POLAIRES. 87 taDgëntes ca^ ch sont conjuguées harmoniques par rapport aux deux droites c A, cB (100). Ce qu*on exprime en écrivant

(cB, rA, ca^ c^) = — i.

Pareillement

{^B, àC, ba, ôc) = — I.

Ainsi les deux faisceaux de quatre droites ont le même rapport auharmonique. Mais ils ont un rayon commun bc\ donc les points d'intersection des trois autres rayons du premier par les rayons homologues du second sont en ligne drdite (G. S, y 43), C'est-à-dire que le point a est situe sur là droite BC. Ce qu'il fallait prouver.

§ IIL — Propriété des polaires de quatre points situés en ligne droite,

.117. Lorsque quatre points sont en ligne droite, leurs polaires foiment un faisceau de quatre dtvites dont le rapport anharmonique est égal à celui des quatre points.

En effet, soient a, bj c, r/, les quatre points situés en ligne droite^ les polaires respectives passent par le pôle de cette droite (i02), et I4 rencontrent en quatre points a\ V^ c\ d\ qui sont les conjugués des quatre a, bj c, d (103). Le l'apport anharmonique des quatre premiers points est donc égala celui des quatre derniers (106). Mais celui-ci est égal à celui des quatre polaires, puisque ces droites passent par un même point* Donc, etc»

Ce théorème sera d'une bien grande utilité.

§ IV. — Quadrilatère inscrit à une conique.

118, Dans un quadrilatère inscrit à une conique, le point dé rencontre des deux diagonales est le pôle de ^ droite qui joint les points de concours des côtés opposés.