S& TRAITÉ DES SEGTIOMS COMIQUES

Car pour déterminer la polaire du point G (Jig* 56), intersection des deux diagonales du quadrilatère ABCD, il faut mener par ce point deux transversales telles que AC ei BD, etc. (98).

On peut dire aussi que : Le point de concours de deux côtés opposés est le pôle de la droite qui joint le point de concours des deux autres côtés, au point de rencontre des deux diagonales*

Car il est évident, d'après la même construction, que la droite PG est la polaire du point E.

119. Il résulte de là que : Les points de concours des côtés opposés et le point de rencontre des deux diagonales de tout quadrilatère inscrit forment un système de trois points conjugués (112).

120. Dans un quadrilatère inscrit à une conique, les points de concours des tangentes menées paf* les sommets opposés sont sur la droite qui joint les points de concours des côtés opposés, et ils dii^isent cette droite harmonique'" ment.

En effet, soit ABCD (Jig. 5y) le quadrilatère^ Les points de concours /, t^ des tangentes àbx sommets opposés sont, de même que les points de concours E, F des côtés opposés, sur la polaire du point d'intersection G des deux diagonales (98).

Les deux points /, t^ divisent harmoniquement le sèment EF. Car le point de concours ;? des tangentes çn A et en D est sur la droite FG, parce que cette droite est la polaire du point E (118). Il en est de même du point de concours q des tangentes en B et en C. Dès lors la diagonale pq du quadrilatère prqs formé par les quatre tangentes passe par le point F^ et pareillement l'autre diagonale passe par le point E. Mai« ces deux diagonales divisent harmonique-

CHAP. V. ^ THÉORIE DES POLES ET POLAIRES. 89 ment la droite qui joint les points de concours /, t' du quadrilatère (G. &, 341). Donc, etc.

121 . II résulte dé la démonstration précédente qu'on peut donner au théorème cet énoncé plus complet :

Quand un quadrilatère inscrit à une conique a pour sommets consécutifs les points de contact consécutifs d*un quadrilatère circonscrit :

1^ Les diagonales des deux quadrilatères passent par un même point et forment un faisceau harmonique ;

2® Les points de concours des côtés opposés des deux quadrilatères sont en ligne droite et en rapport harmo^ nique;

3® Les diagonales du quadrilatère circonscrit passent par les points de concours des côtés opposés du quadrilatère inscrit-,

122. Quand un quadrilatère est inscrit à une conique, si d'un point de la droite qui joint les points de concours des côtés opposés on mène deux tangentes à la courbe et deux couples de droites aux sommets opposés du quadrilatère T ces six droites sont en immolation .

Soit ABCD (fig. 58) le quadrilatère \ E, F les points de concours des côtés opposés; G le poiut de renconire des deux diagonales. Les tangente^ menées par un point I de la droite EF sont conjuguées harmoniques par rapport auxdeux droites lE, IG, parce que celles-ci sont conjuguées par rapport à la conique (119). Mais les deux droites lÂ, IC, ainsi que les deux IB, H) sont conjuguées harmoniques par rapport aux deux mêmes IF, IG, parce que ces deux-ci divisent harmoniquement les diagonales AC, BD [G.S.^ 341 ). Donc les trois couples de droites menées par le point I sont en involution. Ce qu'il fallait démontrer.

Corollaire. — Quand un quadrilatère est inscrit à une conique^ si d'un point de la droite qui joint les points de

go TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES.

concours des côtés opposés, on mène deux tangentes à la courbe^ ces droites seront tangentes à une conique inscrite dans le quadrilatère.

Celle proposition est une conséquence évidente du théorème actuel en vertu du théorème (27).

Quadrilatère circonscrit.

123. Quand un, quadrilatère est circonscrit à une conique, la droite qui joint les points de concours des côtés opposés est la polaire du point de rencontre des deux diagonales.

Cela résulte de la seconde partie du théorème (100).

Pareillement : Une diagonale BD (fig- 5g) est la polaire du point dé rencontre de Vautre diagonale AC et de la droite EF qui joint les points de concours des côtés oppo^ ses.

Car on peut considérer les deux droites AC, EF comme les diagonales du quadrilatère AFCE, dont les poiats de concours des côtés opposés sont B et D : et, d'aprjès Ténoncé précédent, la droite BD est la polaire du point H.

124. IL suit de là que : Les deux diagonales et la droite qui joint les points de concours des côtés opposés forment un triangle GHK dans lequel chaque sommet a pour polaire le côté opposé^ et, par conséquent, ces trois droites sont conjuguées deux à deux (H3).

125. Ainsi les points K, H (fig- $9) 'sont les pôles des deux diagonales AC, BD. Les points F, E sont aussi les pôles des deux cordes de contact ac, db. Ces droites passent pai* le même point que les deux diagpnales (73). Le rapport anliaimonique des quatre droites est donc égal à celai

Tfûûtm poînls K, H, F, E ( 1 17). Or celui-ci est ^al à àm Ipi deux diagonal es -d'un quadrilatère divi-

CHAP. V. — THÉORIE DES POLES ET POLAlBES. 91 sent harmoniquement la droite qui joint les points de concours des côtes opposés. Le rapport anharmonique des quatre droites AC, BD, oc; bd est donc aussi égal à — i . C'est-àdire, que oc, bd sont conjuguées harmoniques par rappOTt à AC, BD. Donc :

Quand un quadrilatère est circonscrit à une coniçue, les droites qui joignent les points de contact des côtés opposés passent par le point de rencontre dés deux diagonales et sont conjuguées harmoniques par rapport à ces deux droites.

126. Quand un quadrilatère est circonscrit à une co^ nique, une transversale menée par le point d'intersec^ îion des deux diagonales rencontre les côtés opposés et ta courbe en trois couples de points en inuolution.

Soient ABCD (^g. 60) le quadrilatère; G le point d'interseclîon des deux diagonales; â, c; ft, d el e, y*les trois couples de points que Ton considère, sur la "transversale ; et G'ie point où cette droite rencontre EF qui joint les points de concours des côtés opposés. Les deux points G, G' divisent harmoniquement le segment e/", parce que la droite EF est la polaire du point G (124 et 98, 3°). Ils divisent aussi harmoniquement chacun des deux segments ac^ bd, parce que les' deux droites FG, FG' sont conjuguées harmoniques par rapport aux deux côtés A6, CD qui concourent en F (G. S., 346). Donc les trois couples de points e,y; a, c] bj d sont «n involution. c. q. f. d.

Corollaire. — On conclut de là, en vertu du théorème de Desargues (20), que :

Quand un quadrilatère est circonscrit à une conique, par deux points de cette courbe en ligne dtvite ai^ec le point d'intersection des deux diagonales, on peut mener «ne conique circonscrite au quadrilatère.

Quadrilatère inscrit ou circonscrit imaginaire.

127. Il est essentiel de bien saisir ce qn^on doit entendre par un çua/trilatère imaginaire, inscrit ou circonscrit à une conique. Voici deux questions qui conduisent naturellement aux idées qu'on doit s*en faire, ^lorsque les quadrilatères qu^elles exigent, viennent à disparaître.

L'idée du quadrilatère inscrit imaginaire s'introduit dans la solution de la question suivante :

On donne deux droites que Von considère comme les diagonales d^itn quadiHatère inscrit dans une coniçue, et l'on demande de trouv^er les points de concours des côtés opposés du quadrilatère y et de mener ces côtés y sans se servir des points de rencontiv de la conique par les deux diagonales.

Les points chercliés sont sur la polaire du point de rencontre des deux diagonales (118), et divisent karmoniquement deux segments faits sur cette droite : le premier par les deux diagonales (G. «S., 341); le -second par la conique, puisque les deux points sont conjugués par rap* port a cette courbe (119). On saura donc construire les deux points chercbés (G. 4$., 272).

Ensuite on construira les deux cotés du quadrilatère qui se croisent en un de ces points S^ par cette considération, qu'une transversale quelconque rencontre la courbe, les deux diagonales, et les deux cotés en trois couples de points a, a'; i, b' et c, c' en iuvolution (20). De sorte que les deux droites cherchées S c^ S c^ sont en iuvolution avec les deux couples de droites Sci, Sa' et Sfr,.SC Menanl une autre transversale, on aura deux autres couples de d|coil0fc-i avec lesquelles Se, Se' seront de même en inVQhif lors ces deux droites sont déterminées iGf^^