Quand le

CHAP. V. — THÉORIE DES POLES ET POLAIRES. 93 conique en quatre points réels, il existe un quadrilatère inscrit dont ces droites sont les diagonales; et les deux points de concours des côtés opposés sont réels.

Quand une seule des deux droites rencontre la courbe, les deux poibts cherchés sont imaginaires. EfTectivement les deux segments qu'ils doivent diviser harmoniquement, empiètent Tuu sur Tautrc. Pour s'en convaihcre, il suffit d'observer que le point de rencontre des deux droites données est dans ce cas au dehors de la courbe. La polaire de ce points sur laquelle sont les deux segments, coupe la courbe en deux points jéels a^ a\ et les deux droites données en deux points £, b\ dont un est dans l'intérieur de la courbe, et conséquemment situé entre les deux points a, a', et l'autre au dehors de la courbe, sur le prolongement du segment aa\

Alors il n'existe pas de quadrilatère inscrit*, et Ton dit c]uc le quadrilatère est imaginaire.

Quand aucune des deux droites ne rencontre la conique,. le quadrilatère est encore imaginaire. Mais les deux points <:herchés> qui, dans le cas du quadrilatère réel, sont les points de coqcours de ses côtés opposés, restent, encore j'ée/s : parce que les deux segments qu'ils doivent diviser harmoniquement sont complètement séparés, ou bien l'un est entièrenieni compris sur l'autre. Ce dont on se rend compte sans diâ^ulté.

129. Les deux droites que l'on regarde comme les diagonales d'un quadrilatère inscrit à une conique peuvent être imaginaires. La droite sur laquelle se trouvent les deux points de concours des côtés opposés est toujours» réelle, puisque c'est la polaire du point d'intersection lies deux droites imaginaires, lequel est réel. Lès deux points de concours, sont aussi toujours réels, jiarce qu'ils divisent harmoniquement deux segments doiit un est imagîndire,

94 TRAITÉ DES SECTIONS COlJilQUES.

celui qui est formé par les deux diagonales. Le quadrilatère est imaginaire ) mais nous Terrons plus tard (chap. XHI) quMl a toujours deux côtés opposés de directions réelle.

130. L'idée d*un quadrilatère imaginaire circonscris se présente dans la solution de ce problème.

Étant donnés deux points pris pour points de concours des côtés opposés d^un quadrilatère circonscrit à une conique, on demande de construire les diagonales et les sommets du quadrilatère, sans mener les tangentes à la conique par les deux points donnés.

Appelons E, F les deux points de concours donnés; G le pôle de la droite EF : les deux diagonales cherchées passent par ce point (121). De plus elles sont conjuguées harmoniques par rapport aux deux droites GE, ûF(G. S., 346) ; et elles sont conjuguées par rapport à la conique (122), et dès lors conjuguées harmoniques par rapport aux deux tangentes menées par le point G. D'après cela les deux diagonales sont déterminées. ~

On construira les deux sommets du quadrilatère situés sur une diagonale L, en considérant que si d*un point P pris arbitrairement on mène des .tangentes à la conique et des droites aux deux points E, F et aux deux sommets cherchés, ces six droites seront en iiivolution (27), et par conséquent rencontreront la diagonale L en six points en' involution. Les deux derniers de ces points sont les deux fiCHumets cherchés. Ces deux points font donc partie d'une involution dont on connaît deux couples de points conjugués. Pour un autre point P' on aura deux autres couples 4le points déterminant une seconde inyolution dont les^deax peint« cherchés feront encore partie. Ces deux points sont donc déterminés (G. (S. ^ 271).

Ainsi le problème est résolu.