Quaiïd les deux poinis don

CHAP. V. — THÉORIE DES POLES ET POLAIRES. q5 de la conique, les deux diagonales construites sont réelles, et il existe un quadrilatère circonscrit pour lequel ces point» sont les points de concours des côtés opposés.

Quand un seul des deux points est au dehors de la courbe, et l'autre dans son intérieur, les deux diagonales cherchées sont imaginaires, parce que les deux angles qu'elles doivent diviser harmonîquement empiètent l'un sur Tautre. Par conséquent, il n'y a pas de quadrilatère circonscrit k la conique. On dit alors que le quadrilatère circonscrit demandé est imaginaire.

Quand les deux points donnés sont intérieurs à la conique, le quadrilatère circonscrit est encore imaginaire : mais ses deiix diagonales sont réelles^ parce que les deux systèmes de droites par rapport auxquelles elles doivent être conjuguées harmoniques forment deux angles réels dont l'un EGF est entièrement compris sur l'autre.

Ainsi un qi^adrilatère circonscrit aune conique peut être imaginaire, et avoir néanmoins certaines parties réelles; savoir, les deux diagonales et les points de concours des côtés opposés.

Au lieu de regarder les deux points donnés comme les points de concours des côtés opposés du quadrilatère demandé, on peut les considérer comme deux sommets opposés sur une diagonale connue. Alors la construction reste la même : on détermine la secondé diagonale et la droite qui joint les points de concours des côtés opposés; puis, sur ces deux droites, les deux autres sommets du quadrilatère et les deux points de concours des côtés opposés.

132. Enfin, les deux points donnés peuvent ^ite imaginaires; le point de concours des deux diagonales est toujours réel, puisque c*est le pôle de la droite sur laquelle sont les deux points imaginaires. Les deux diagonales sont ellesmêmes toujours réelles, parce qu'elles divisent harmoni-

gë TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES,

quement le segment imaginaire formé par les deux points donnés (*). Nous verrons plus urd (chap. XIV) que dans ce cas deux sommets opposés du quadrilatère sont toujours réels, et les deux autres évidemment imaginaires.

§ y .-r^ Quadrilatère, et Triangle, dans le plan d'aune conique,

133. Si, sur les deux diagonales et la droite qui joint les points de concours des côtés opposés d^un quadrilatère, on prend trois couples de points qui dii^isent harmoniquement les trois droites ^ ces six points seront sur une conique.

En effet, soit ABCD (^g, 6i) le quadrilatère; E, F les points de concours des côtés opposés; et m^m'] n,n'] p^ p' les trois couples de points qui divisent harmoniquement la droite EF et les deux diagonales BD, ÂC. Soient de plus G, H, I les points d^ntersection des trois droites. Les deux points J7I, mMi visent harmoniquement le segment EF ; ainsi quie les deux points H, I. Par conséquent, les deux segmets m/7i'^ lil déterminent une involution dont les deux points doubles sont E et F. On a donc

On a de même sur les deux diagonales

G/i . On' Gd' Ip.lp' ÎC^

Et multipliant membre à membre

H/yi.Bm^ Gn.Gn* IpAp' BE Gp' ïc' Im.I/w' * H«.H/i'* G/?. G/"" J^' ' gg' GC^

( *^ Deux points conjugués harmoniques par mpport à deux points imaginaires sont toujours réels (G. <5., 77).