CHAP. V. — THÉORIE DES POLES ET POLAIRES

Le second membre est égal à F uni té, parce que les trois points E, D, C sont en ligne droite. Donc le premier membre est aussi égal à Tunité. Donc les six points m, ///, /i, v!y p, /7'soQt sur une conique (23). Ce qu'il fallait démontrer.

Corollaire. — Il suit de ce théorème que si une conù/iw dwise harmoniquement les deux diagonales d'un quadri^ latère, elle divise aussi harmoniquement la droite qui joint les points de concours des côtés opposés.

En d'autres termes :

Si les deux couples de sommets opposés d^un quadrilatère sont conjugués par rappoit à une conique y les deux points de concours des côtés opposés sont aussi deux points conjugués (*).

134. Si par chaque point de concours, soit de deux celés opposés d^un quadrilatère y soit des deux diagonales^ on mène [deux droites conjuguées harmoniques par rapport aux deux côtés, ou aux deux diagonales, les trois couples de droites ainsi déterminées sont tangentes à une conique.

Sohahcd(fig. 62) le quadrilatère; E, F, G les points de concours des côtés opposés et des diagonales; Ee, Ee'; F/, F/*', et Gg', G g' les couples de droites menées par ces trois points, comme il est prescrit par l'énoncé du théorème.

Les deux droites EG, EF sont conjuguées harmoniques par rapport aux deux côtés Ka, £c (G. «S., 346), ainsi que les deux droites Ee, Ee'. Conséquemment Ea, Ec sont les rayons doubles de Tinvolution déterminée par les deux couples de droites EF, EG, et Ee, Ee' (G. S., 244).

{*)lCe théorème et le suivant sont dus k M. G. Hesse, qui les a démontrés, différemment, dans son Mémoire intitulé : De Curvis et Superfieiehut tfcundi ordinis, (Voir le Journal de Maihématitfues de Crelle^ t. XX, p. 3oi,

année; 1840.)

On a donc rt'quatioii '

sinGK^.sinOEf/ sin^GEtf sinFEc'.sinFEc-' ~~sin^FE«'

Et pareillement

sin EF/.sin EF/^ sin^ EF a MnGF/.sinGF/' ~" sin» GF/i ' sinFGif.sinFG/?^ __ sin» FG/i sinEGg' sinEGg^' " sin»EG«'

Multipliant membre à membre, on obtient une équationdoi^ ilesecond membre est égal à l'unité, parce queles troisdroit^s s Ea, Fa, G a qui partent des trois sommets du triangle EFdli passent par un même point a [G.S.n 357) ; et Téquation re^— sultante exprime que les trois couples de droites Ee, Ee*^^ = Fyi Ff et Gg^ G g', qui partent des trois sommets <■— »^ triangle EFG, sont tangentes à une conique (29),

Ainsi le théorème est démontré.

Corollaire. — Il résulte de là que si les, deux couples < côtés opposés d'un quadiilatère sont conjugués par ra^ pott à une conique, les deux diagonales sont aussi conj -^-^ guces par rappoit à la conique.

135. Un tiiangle étant tracé dans le plan d'une cor"^ ^' que, les droites qui joignent les sommets aux pôles c^^^-^ côtés opposés passent par un même point ^

Et les côtés du triangle rencontrent les polaires cf^^-^ sommets opposés en trois points situés en ligne droite. '

Soit ABC {^g. 63) le triangle, et a, ft, c les pôles d^^ côtés BC, CA, AB. Soient ql, ê, y les points dans lesqii.^'^ ces côtés rencontrent respectivement les côtés te, ca, ab dv. triangle abc.

Prouvons d'abord que ces trois points sont en ligi^^' droite : et pour cela considérons le quadrilatère abaS, 3-^ point de concours des deux côtés opposés a 6, ba est I^

CHAP. V. — THÉORIE DES POLES ET POLAIRES. 99 poinic; appelons 7' celui des deux autres côtes ab^ «6. Il faut oiontrer que ce point y' n'^est autre que 7. Or la polaire du sommet a, qui est la droite BC, passe par le sommet a; par conséquent « et a soiil deux points conjugués par rapport à la conique 5 et de même les deux autres sommets b et 0. Donc les deux points de concours des côtés opposés, c et /, sont aussi deux points conjugués ( i33, CorolL), Donc ie point y est si tué sur la droite AB, polaire du point c. Donc y'n'est autre que y. Ce qu'il fallait démontrer. Prouvons maintenant que les trois droites A a, B/;, Ce, • concourent en un même point. Soit o le point de concours des deux premières Art, Bb. Considérons le quadrilatère -ACBo. Le côté BC a son pôle a sur le côté opposé Ao : conséquemment les deux côtés sont conjugués par rapport à la <îOnîque (107) ; et de même les deux autres côtés AC et oB. Il s'ensuit que les deux diagonales AB et Co sont aussi conjuguées (134, CorolL). Conséquemment la secondeCo passe parle pôle c de la première. Ainsi le sommet c est sur la ^''oiteCo; c'est-à-dire que la droite Ce passe par le point de concours des deux droites A^, îîi. Ce qu'il fallait prouver.

S VI. — Propriétés relatwes aux cordes d 'une conique ^ qui passent par un même point»

136. Notions préliminaires. — Si quatre couples de points **** ligne droite sont en involution, les conjugués harmoniques ^*Un point de la droite, pris à volonté y relatifs aux quatre coupfe$ ^ points, ont toujours le même rapport anharmonique^ quel quç ^oie ce point,

£n effet, soient m, m' deux points conjugués de rinvolution à '^quelle appartiennent les quatre couples donnés, et P un point ^ï^bitraire. L'involution s'exprime par l'équation

loo TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES,

ouy «n appelant fx le milieu du segment mm'y

Pw.P/w'+2>.Pft-hv = o (G. 5.,2M);

> et V étant deux constantes.

Soit/7 le conjugué harmonique de P par rapport aux deux points niy m'; on a

Vm.Vm'= Pp.Vfi (G. S., 70).

L'équation précédente devient donc

P/>.P^ + aX.Ppi -f-v = o.

Celle-ci exprime que les points p et /a relatifs à chaque segment mm' de Tinvolution forment deux divisions horoographiques (G. S. y 151). Quatre points/? ont donc le même rapport anharmonique que les quatre points fA. Mais ces quatre points fji sont les milieux des quatre segments que l'on considère : ils sont donc indépendants du point P, ainsi que leur rapport anharmonique. Le théorème est donc démontré.

137. Quand les côtés de quatre angles ^ de même sommet^ sont en involutiony les polaires d'un point relatives aux quatre angles ont un rapport anharmoniq\ie constant, quel que soit ce point.

Nous appelons polaire d'un point relative à un angle la droite conjuguée harmonique de celle qui joint le point au soinmet de de l'angle, par rapport aux deux côtés de Tangle. C'est effectivement la polaire de ce point, en regardant ces deux côtés comme une section conique (31).

D'après cela, la proposition résulte de la précédente ; car une transversale menée par le point donné P coupera les côtés des angles en quatre couples de points en involution, et les polaires du point 1 en quatre points qui seront les conjugues harmoniques de P relativement aux quatre couples de points. Mais ces quatre points sw. les polaires ont un rapport anharmonique constant^ quel que soi le point P de la transversale : donc le rapport anharmonique d« quatre polaires, égal à celui des points, est aussi constant. CI qu'il fallait prouver.

CHAP. V. — THÉORIE DES POLES ET POLAIRES, loi

138. Mous .appellerons rapport anharmonique de quatre segments en involulion le rapport anharmonique de quatre points conjugués harmoniques d'un point fixe relativement aux deux extrémités de chacun des quatre segments.

Pareillement, lorsque les «ôtés de quatre angles, de même sommet, sont en involution, nous appellerons rapport anhar^ monique des quatre angles, ou des quatre couples de droites qui forment leurs côtés, le rapport anharmonique des polaires d'un point ûxe refatives aux côtés des quatre angles respectivement.

Quand des segments en involution correspondent à des points situés en Kgne droite, de manière que le rapport anharmonique <le quatre segments soit égal à celui des quatre points correspondants, nous dirons que les segments et les points se correspondent anharmoniquemeht.

De même, quand des angles en involution correspondent à des droites partant toutes d'un point unique, de manière que le rapport anharmonique de quatre angles soit égal à celui des quatre droites correspondantes, nous dirons que les angles et les droites ^correspondent anharmoniquement ; ou bien encore que les couples de droites qui forment les côtés des angles correspondent '^'^harmoniquement aux droites simples.

Ces notions vont recevoir une application immédiate et seront ^uvent utiles dans la suite.

139. Quand plusieurs cordes d'une conique passent P^f" un même points les couples de droites menées d'un Point de la cotirbe aux extrémités de chaque corde, sont ^^ involution et correspondent anhaimoniquement aux bordes.

Soient aa'^ bb\ ce',. . . {^g» 64)5 les cordes qui passent P*r un même point p, et m un point quelconque de la ^^Urbe ; il faut prouver d'abord que trois couples de droites '^'aj.ma'j mè, mi'; mc^ me' sont en involution.

Menons la droite p m qui rencontre la conique en un se- ^^i^d point m'. Les droites ma, mi, me, ma* rencontrent

respectivement les droites m'a', m'b\ m'c\ m' a en quatre points situés sur la polaire du point p (98, i°). Donc

;// (/7, /;, r, fl') = /;/ («', b\ c\ a).

Mais

Donc

m [a, bf c, a')= m (a', //, c'y a) :

ce qui établit que les trois couples de droites wa, ma^ ; m&, mfe'5 wc, me' sont en îiivolulion (G, *S., 243).

Il reste à prouver que le rapport anharmonique des quatre angles ama\ bmb\. . . est égal à celui des quatre droites aa\bb\.., qu'ils sous-tendent. Le rapport anharmonique des angles est celui des polaires d'un point quelconque, par exemple du point p, relatives aux angles (138). Ces polaires sont les droites ma,mS^. , . qui passent par les points a, 6, . . . conjugués harmoniques du point p relativement aux couples de points^ a, a'; i, i'^ Ces polaires

ont leur rapport anharmonique égal à celui des points a, 65. . ., lequel est égal h celui des cordes aa', ii', • . /. Donc, les couples de droites ma, ma'-, mi, mi'-,. . . correspondent anharmoniquement aux cordes paa', pbb\. . . .

Ainsi le théorème est démontré.

Réciproquement : Quand des angles qui ont leur soin- Jiiet commun en un point d *une conique sont en in^oïution, les cordes qu'ils interceptent dans la courbe pas* sent par un même point, *

Cela résulte sans difficulté de la proposition directe.

Corollaire. — Les droites menées du point m aux points de contact des tangentes qui passent par le pohit p, sont les rayons doubles de Tin volution formée par les couples de droites ma, ma' :^ mb^ mb' -^ .... Il résulte de là cet énoncé :

Lorsqu'un angle est circonscrit à une conique, si par son sommet on mène une transversale qui coupe la courbe

CHAP. V. — THÉORIE DES POLES ET POLAIRES. io3 en deux points j, les droites menées d 'un point quelconque. de la courbe à ces points sont conjuguées harmoniques^ par rappoH aux droites menées du même point aux. points de contact des deux côtés de l'angle.

140. Exemples. — I. Si autour d'unpoint d'une conique, comme sommet, on fait tourner un angle droit, la corde que ses côtés interceptent dans la courbe passe toujours par un même point.

En effet, les deux côtés deTangle décrivent deux faisceaux en mvolution {G. aS., 246).

U. Si pur un point d'une conique on mène deux droites quelconques également inclinées sur un axefixe^ l<i corde comprise dans la conique entre ces deux dix>ites , passe par un point, fixe.

Caries deux droites sont conjuguées Iiarmouiques par ''apport à la droite fixe et à une perpendiculaire à cette ^oite. Donc elles décrivent deux faisceaux en involution fG.5.,247). Donc, etc.