Si dans le théorème (139) on suppose que la troi

Pleine corde ce' s'approche infiniment près du point m, et

f^sse, à lâiimite, par ce point, la droite mcf deviendra mp^

^^ nie deviendra la tangente à la conique au point m\ il en

*^sulte ce théorème :

Si par un point d 'une conique on mène des droites aux ^^trémités de deux cordes de la courbe, une droite au ^^int de rencontre de ces deux cordes, et la tangente à la ^^iirbe : ces six droites seront en involution.

En d'autres terme» :

K^uand un quadrilatère est inscnt dans une conique^ "** par un point de la courbe on mène deux couples de ^'oites à ses sommets opposés, la tangente en ce point

io4 TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES.

et la droite qui aboutit au point de rencontre des deux

diagonales : ces six droites seront en im^olution.

142. De là résulte une solution de ce problème : Étant donnés cinq points d'une conique, mener la tan^

gente en l'un de ces points.

Solution assez remarquable, en ce qu^elle subsiste dans le cas où les quatre points de la conique, autres que celui auquel on veut mener la tangente, sont imaginaires.

143. Quand des cordes d'une conique passent par un point p, les couples de droites menées d'un point quelconque I pris sur la polaire du point p, aux extrémités de ces cordes, sont en im^olution.

Les droites menées du point I aux extrémités de chaque corde sont conjuguées harmoniques par rapport à deux droites fixes, savoir la polaire du .point p et la droite Ip. Donc, etc.

144. Si autour d'un point p on fait tourner une transi^ersale qui rencontre une conique en deux points^ la somme algébrique des distances de ces points à une droite

fixe M, divisées respecti\>ement par les distances des mêmes points à la polaire du point fixe, est une quantité con^ s tante.

En effet, soit m (fig. 65) le point où la transversale paa' rencontre la droite M, et p' celui où elle rencontre la polaire du point p ; on a

pp p'a p'a'^

Les trois segments mp, ma^ ma' sont proportionnels aux distances p(^^ aq^ a' q' des points p, a, a' à la droite M. Semblablement, les segments p'p, p' a^ p' a' sont proportionnels aux distances pP, aps^ a' p' des mêmes points p,

CHAP. V, — THÉORIE DES POLES ET POLAIRES. io5 ^9* a' à la polaire du poiut /9, sur laquelle est le point p'. Li^ équation ci -dessus donne donc celle-ci :

aq a! q' p Q

-i 4- -7^ = 2 . 1-^ = const.,

ap a p' p P

ce qui démontre le théorème.

CoftOLLAiBE. — Si la droite fixe est à l'infini, les per* pendiculaires aq^ a' q\ pQ deviennent infinies et dispa-

x*aisseiit de Téquation, parce que les rapports -^» — ^-

soQi égaux à Tunité; et il reste

1 — >— ; = const.

ap a p

C'est-à-dire que : La somme des valeurs im^erses des ^^s tances des deux points a, a' à la polaire du point p est ^o ratante.

Il s'agit de la somme algébrique, de même que dans 'é:i=ioncé du théorème; les distances des points a^a' à la polaire du point p ayant le même signe quand les perpen- "^^^iulaires qui les mesurent ont la même direction, et des ^■"Sues différents dans le cas contraire. .

/ j ^n. — Propriétés relatives à des angles circonscrits à une conique, dont les sommets sont en ligne droite.

14f5. Quand des angles circonscrits à une conique ont

^^^ ^urs sommets en ligne droite, les segments qu'ils inter-

^^^^jftent sur une tangente quelconque à la courbe sont en

^^'^ solution et correspondent anharmoniquement aux somr-

^^^^^-ets des angles.

En effet, soient A, B, . . • ( fig. 66) les sommets des angles

^ tués sur une droite L \ aa\ bb'^ ... les segments inter-

*^^ptés par ces angles sur une tangente M. Que par le point

^^^iotersection de cette tangente et de la droite L on mène

io6 TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES.

une seconde tangente M' qui rencontre les côtés des angles

en des couples de points a, a' 5. S, ê'; ... .

Les deux angles A et (M, M') étant circonscrits à la conique, les diagonales a a', cl a^ dû quadrilatère formé par leurs côtés passent par le pôle de la droite L (100, 2**). Il en est de même des droites 1 6', 6i' et des droiteç c 7', yc'. Puisque ces droites passent par un même point, il s'ensuit que

(ur, h, c, û') = (a', 6', 7', a).

Mais

Donc

(fl, h, c, a')={a\ b',c\ a).

Donc les trois segments «a', bb'^ ce' sont en involution (G. 5., 182).

Il reste à prouver que le rapport anharmonique de quatre segments aa'^ bb\ .... est égal à celui des quatre points A, B, .... Or le rapport anharmonique des quatre segments est celui des quatre points conjugués harmoniques d'un même point de la tangente M relatifs k ces segments (138). Prenons le point P,*întei'section de M et de la droite L; les conjugués harmoniques sont sur les polaires de ce point relatives aux quatre angles; et ces polaires passant par un même point (pôle de la droite L relatif à la conique), leur rapport anharmonique est égal 9 celui des sommets A^ B, . . . des angles.

Le théorème est donc démontré.

Réciproquement ; Quand des angles circonscrits à une conique interceptent sur une tangente à la courbe de^ segments en in^olution, ces angles ont leurs sommëf^-^ en ligne drçite.

Cela résulte immédiatement du théorème.

Corollaire. — Si la droite L rencontre la conique cr ■

CHAP. V. — THÉORIE DES POLES ET POLAIRES. 107 deux poinls, les tangentes en ces points marqueront sur la taugcDte M les points doubles de Tinvolution. 11 s'ensuit que:

Quand un angle est circonscrit à une conique^ ses côtés elles deux tangentes menées par un point de la corde de contact rencontrent une autre tangente quelconque en deux couples de points qui sont en rapport haimo^ nique,

146. Supposons que, dans le théorème (i45), un des angles circonscrits ait son sommet infiniment voisin du point P où la droite L rencontre la tangente M. Un des côtés de cet angle est la tangente infiniment peu difîérente de M, et rencontre cette droite en un point infiniment voisin de son point de contact avec la conique. A la limite, où le sommet de Tangle est en P, le point de rencontre coïncide avec le point de contact.

De là résulte ce théorème :

Quand deux angles sont circonscrits à une conique, fei segments qu'ils interceptent sur une tangente à la courbe, et le segment compris sur cette tangente entre son point de contact et la droite qui joint les sommets des ^ux angles y sont en inv^olution.

En d*autres termes : Quand un quadrilatère est circon^ ^^ritàune conique y si Voji mène une tangente à la courbe, '^5 points ou elle rencontre les deux couples de côtés apposés du quadrilatère, son point de contact et le point ^à elle rencontre la droite qui joint les points de concours ^s côtés opposés du quadrilatère, sont six points en irn^o- ^^ion.

On déduira de là une construction de ce problème ;

Une conique doit être tangente à cinq droites données: ^^ouver le point de contact d'une de ces droites,

X^a construction qui résulte du théorème subsistera quand

io8 TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES.

les quatre droites, autres que celle dont on demande le poHit

de contact, seront imaginaires.

147. Quand des angles circonscrits à une parabole ont leurs sommets sur une même droite, leurs côtés sont parallèles à des couples de droites en inv^olution,

C^est-à-dire que si Ton mène par un même point des couples de droites parallèles aux côtes de ces angles, ces droites seront en involution. Cela résulte du théorème (145) dans lequel on prend pour la tangente M la tangente située à Tinfini.

148. Quand des angles circonscrits à une conique ont leurs sommets sur une même droite L, leurs côtés rencontrent une transi^ersale quelconque menée par le pôle de cette droite^ en des couples de points qui sont en im^dlu^ tion.

Car les deux côtés d'un angle circonscrit à la conique sont conjugués harmoniques par rapport à la droite L et à la droite qui joint le sommet de l'angle au pôle de cette droite (107). Par conséquent, les deux côlés de l'angle rencontrent Ik transversale en deux points qui sont conjugués harmoniques par rapport au pôle de la droite L et au point où la transversale rencontre cette droite. Donc, etc.

149. Si de chaque point d'une droite on mène deux tangentes à une conique, la somme des distances de ces tangentes à un point fixe, divisées respectivement par les distances des mêmes tangentes au pôle de la droite^ est constante.

En effet, soit p {fi g* 67) le pôle de la droite donnée L, et O le point fixe. La droite pO rencontre la droite L en un point p' et les deux tangentes menées par un point S de cette droite, en deux points a, a'. Ces quatre points p, p', a, a' sont conjugués harmoniques, parce que la droite L

CHAP. V. — THÉORIE DES POLES ET POLAIRES. 109 est la conjuguée harmonique de la droite p S relativement aux deux tangentes Sa, Sa'. On a donc la relation

^^2^ = :..^ = consL (G.5,,63).

Or le rapport — est égal au rapport des distances de la

tangente Sa aux deux points O et p^ et de même, — ;- est

égal au rapport des distances de la tangente Sa à ces deux points. Donc, etc.

§ Vin. — Problèmes dii^ers.

Problèmes relatifs à deux involiUions sur une même droite.

150. Les deux théorèmes (139) et (145) fournissent cbacun une solution différente du problème suivant :

Etant données sur une même droite deux séries de segments en invfolution, troui^er le segment commun aux deux in\folutions.

Première solution. — Qu'on prenne une conique quelconque (un cercle par exemple) et un point fixe sur cette courbe. Les droites menées de ce point aux extrémités de deux s^ments de la première involution intercepteront dans la conique deux cordes qui se couperont en un point P; et de même les droites menées du point fixe aux extrénûtés de deux segments de la seconde involution intercepteront deux cordes qui se couperont en un point P'. La droite PP résout la question : les droites menées du point fixe aux deux points où celte droite rencontre la co- JÛqne interceptent sur la droite des deux involutions le segment qui leur est commun (139).

Deuxième solution, — Qu'on prenne une conique quelconque tangente à la droite sur laquelle sont les deux séries

no TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES. •/

desiegments en involution. Quepar les extrémités de deax segments de la première involution on mène des tangentes à la conique, formant deux angles circonscrits dont les sommets déterminent une droite L. Qu'avec deux segments appartenant à la deuxième involution on détermine semblablement une seconde droite L^ L'angle circonscrit à la conique, qui aura pour sommet le point d'intersection de ces deux droites, interceptera le segment cherché (145). Observation, — Chacune de ces deux constructions peut s'appliquer, comme on va le voir, à diverses autres questions.

151 . Étant donnés sur une droite trois couples de points quelconques a, a'; b, b'; c, c' : on demande de trouver les points doubles des deux divisions homo graphiques déterminées par ces trois couples de points.

Soient e, /'ces deux points doubles*, le segment e/*appartient à deux involutions déterminées, Tune par les deux cou- . pies de points a, b^ et i, a', et Tautre par les deux couples de points a, cf et c, a' (G. *S., 2S9). Le problème se ramène donc au précédent.

152. Étant donnés sur une droite âeux couples de points a, a' eï b, b', trouver les deux points e, (qui divisent harmoniquement les deux segments aa!^ bV,

En d'autres termes : Étant donnés deux couples de points conjugués d^ une involution, trouver les deux points doubles de l 'involution .

Qu'on prenne une conique quelconque, et que d'un point O de cette courbe, on mène les couples de droites Oâ, Oa'; Oi, Ob' qui intercepteront deux cordes aa^, JoS^ Parle point de concours de ces deux cordes on mènera deux tangentes à la conique, et par Iç point O deux droites aux points de contact. Ces droites marqueront sur la droite aa' les deux points cherchés ( 1 39, CorolL).