Étant donnés sur une droite L deux couples de

CHAP. V. — THÉORIE DES POLES ET POLAIRES. 1 1 1 points conjugués d*une inuolution a, a'; b, V^ et deux autr-es points quelconques e, f : on demande de trous^ei deux points conjugués de l'involutiori^ qui soient conju-' gués harmoniques par rapport aux deux e, f.

On mène par les deu^ points e, f^ une conique quelconque sur laquelle on prend un point O. Les couples de droites Oa, Oa'; Oi, OA', interceptent dans la courbe deux cordes ao/, 66'. On joint par une droite le point d'intersection de ces cordes et le point de concours des tangentes à la conique en e^ f. Cette droite rencontre la conique en deux points -, les droites menées du point O à ces derniers détermineront sur L les deux points chercliés (139 et Coro//.).

Construction d'une conique.

154. Construire la conique déterminée par cinq points dont quatre sont imaginaires .

Désignons par a, a' et &, U les deux couples de points imaginaires, situés sur deux droites réelles aa'^ bV (fig. 68) qui se coupent en p, et soit O le cinquième point. On construit immédiatement la tangente à la conique en ce point, par le théorème (142). '

Qu'on détermine ensuite la polaire du point p, au moyen des points conjugués harmoniques de p, par rapport aux deux couples a, a' et fe, V (99, i**). Cette polaire rencontra la droite Op en un point o), qui permet de déterminer le point ty de la conique cherchée sur la droite Op; car O, O' sont conjugués harmoniques par rapport aux deax points «, p.

On détermine le pôle de la droite paa\ lequel est à l'intersection a de la polaire du point p et de la polaire du point de rencontre d de la tangente en O et de la droite Pûû'. Cette polaire du point d passe par le point O, et psir le conjugué harmonique î du point d par rapport aux

I la TRAITÉ DES SECTIONS' CONIQUES,

deaz points donnes a, a^; elle est donc détermina. Par conséquent on peut aussi déterminer le point O^ où elle rencontre la conique cherchée ^ ce point est le conjugué harmonique du point O par rapport aux deux a et S, La droite d(yesl la tangente en ce point.

Ainsi Ton connaît trois points de la conique cherchée, O, (y y <y et les tangentes en deux de ces points, O, (>'; ce qui suffit pour construire la courbe. .

155. Construire la conique qui doit passer par quatre points a, b, c, d, ef dix^iser harmoniquement un segment donné ef.

Les quatre points forment un quadrilatère abcd inscrit à la conique demandée. La droite e/" rencontre les côtés opposés de ce quadrilatère en deux couples de points qui déterminent une involution. Les deux points de la conique sur cette droite seront deux points conjugués de Tinvolntion (20) ; en outre, ces points doivent être conjugués harmoniques par rapport aux deux e, f. On les déterminera donc par la. question résolue ci-dessus (153).

Les deux points donnés e,/peuvent être imagina

456. Observation, — Dans tous les cas, la question met qu'une solution; par conséquent on peut din quand on demande qu'une conique divise harmonique un segment donné ef^ cette condition équivaut à ce mener la courbe par un point donné. Et^effectivem' M le segment ef devient nul et se réduit à un point, h 5 que cherchée passe par ce point. î

La condition de diviser un segment ef harmoi ^ ment s'exprime encore en disant. que la polaire da,|) « doit passer par le pointai II s'ensuit que : dans la con tion d'une conique^ quand on d^nande qu^on poinl''fj| ait pour polaire une droite donnée, cela équivaut à lu dition de mener la courbe par doux points donnés. |

CHAP. V. — THÉORIE DES POLES ET POLAIRES. ii3

157. On donne quatre points a , b^ c, O, et une droite L : et Von demande de construire une conique y de manière que les trois premiers points soient conjugués relativement à cette courbe, et que le quatrième dei^ienne le pôle de la droite L.

La droite Oa (fi g. 69) rencontre la droite bc en un point cl^ et la droite L en CX. Les deux couples de points a, a' et OjO' sont conjugués par rapport à la conique demandée. Par conséquent les points de celte courbe situés sur la droite Oa divisent harmoniquement les deux segments ila\ OCy, et sont dès lors déterminés (IS2). On déterminera d« même les points de la conique situés sur. les deux droites 0&, Oc. On connaîtra donc six points de cette courbe, qui serviront a la construire complètement.

158. Par des considérations analogues aux précédentes (154, 155) on résoudra les problèmes corrélatifs suivants :

Construire une conique tangente à cinq droites dont quatre sont imaginaires.

Construire une conique tangente à quatre droites, et par rapport à laquelle deux droites données soient conjuguées.

Le problèpie (157) ne diffère point du problème corré^ Utif, . .

ii4 TRAITÉ DES SECTIONS COMIQUES.