DIAMÈTRES ET CENTRE D'UNE CONIQUE. - DIAMÈTRES CONJUGUÉS
§ I. — Diamèttes et centre.
159. Dans une conigue^ dei cordes parallèleâ entre elle ont leurs milieux sur une même droite.
En effet) ces poititâ milieux sont sur la polaire du pain situé à l'infini dans la direction commune des cordes.
On appelle diamètre toute droite qui est le lieu des mi lieux d'une série de cordes parallèles entre elles.
On peut encore dire cpi'un diamètre est la polaire d'ui point situé à Tinfini.
16Q. Ze5 tangentes aux extrémités d'un diamètre son porallèles»
Car elles passent par le point, situé à Tinfinip qui eat h pâle du diamètre.
Réciproquement : Quand deux tangentes sont parallèles la corde de contact est un diamètre.
Car le pôle de cette droite est à l'infini.
161. Le point d^ intersection de deux diamètres a st polaire située à Vinfini; toute autre droite menée par ct point est aussi un diamètre ; et ce point est le milieu di chaque diamètre.
En effet, lés deux diamètres ont leurs pôles à Tinfin ( 160) ] donc la polaire de leur point d'intersection est i Tinfini.
Donc toute droite menée par ce point a son pôle à l'infini, et conséquemment est un diamètre.
CHAP. VI. — DIAMÈTRES ET CENTRE D*UME CONIQUE. 1 15 ' Chacun de ces diamètres rencontre la polaire en un point situé à l'infini. Ce point est le conjugué harmonique dm point commun dHntersection, par rapport aux extrémités du diamètre; donc ce point d'intersection est le milieu du diamètre.
162. Tous les diamètf-es passent par un même point. En eSSêt, tous les diamètres ont leurs pôles sur la droite
âloée à rinfini', ils passent donc par le pôle de cette droite.
163. On appelle centre d'une section conique le point par lequel passent tous les. diamètres de la courbe.
C^ peol encore dire que le centre d 'une conifjue est le pôle de la droite située à V infini.
Il s'endui l que les tangentes menées par le centre ont leurs points de contact situés a Tinfini, et sont par conséquent {tA asymptotes de la conique (asymptotes réelles ou imaginaires).
164. «Sï le point d"* intersection de deux cordes est le milieu de chacune d *^elles, ces cordes sofit des dia^ mètres.
En effet, la polaire de ce point passe par les points situés a Imfîni sur les deux cordes, et est par conséquent à Tinfini. Les pôles des deux cordes, lesquels sont sur cette polaire (102), sont donc à Tinfîni^ et conséquemment les cordes sont des diamètres (160).
165. Deux tangentes parallèles sont également éloi* gnées du centre de la conique, et font sur un diamètre, de part et d^ autre du centre, deux segments égaux.
Car la droite de contact est un diamètre (1 M)) et pffs^ par le centre de la conique (163) : conséquemment les deux tangentes, .puisqu'elles sont parallèles, sont ég;alement éloignées de ce point; et, par suite, elles font des seg-
ii6 • TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES.
ments égaux sur toute autre droite menée par ce point.
Donc, etc.
166. Par trois points on peut faire passer une conique qui ait son centre en un point donné.
En effet, soient A, B, C les trois points de la courbe, et O le centre; qu'on prenne OA' = OA, OB' = OB-, la conique passera par les deux points A' et B' qui avec les trois A, B, C^ suffisent pour la décrire. Le point O serale centre de la courbe, puisque c*est le point d'intersection de deux diamètres AA', BB' (164).
167. Dans la parabole, tous les diamètres sont parallèles entre eux, et conséquemment la courbe nù pas de centre.
En effet, la parabole a un point à l'infini, et la tangente en ce point est la droite située à l'infini (13). La polaire d*un point de celte tangente, polaire qui est un diamètre (lo9), passe par le point de contact. Ainsi tous les diamètres de la parabole passent par le point de la courbe situé à Tinfini, et sont donc parallèles entre eux. Par suite, la- courbe n'a pas de centre.
Les cordes perpendiculaires à la direction commune des diamètres ont leurs milieux sur un di amètre (1 59 ) . Il est clair que la courbe est symétrique par rapport à ce diamètre ; par cette raison ce diamètre est appelé Y axe de la parabole \ et le point où il rencontre là courbe est appelé le sommçt de la parabole.
§ II. — Diamètres conjugués.
168. On appelle diamètres conjugués deux diamètres tels, que le pôle de l'un se trouve sur Tautre.
Ces pôles sont à l'infini •, il s'ensuit que chacun des deux diamètres est le lieu des milieux des cordes paraltèles à l 'autre.
CflAP. VI. — DIAMÈTRES ET CENTRE D'UNE CONIQUE. 1 17 Car toutes ces cordes, passant par un même point situé âl'iDfini, ont leurs milieux sur la polaire de ce point, c'està-dire sur le diamètre conjugué.
169. La polaire d\in point pris sur un diamètre est parallèle au diamètre conjugué.
Car cette polaire passe par le pôle du diamètre sur lequel est le point (102) •, et ce pôle, situé à l'infini (159), est sur le diamètre conjugué (168). La polaire est dès lors parallèle k ce diamètre conjugué.
II suit de là que la corde menée par le point, parallèle«r ment à Ja polaire, a son milieu en ce point.
170. Deux diamètres conjugués sont conjugués harmo^ niques par rapport aux deux tangentes à la conique menées par le centre (107), c'est-à-dire par rapport aiix deux ^mptotes de la courbe (réelles ou imaginaires). .
U suit de là que : Dans V hyperbole équilatère deux dia- ^tres conjugués font des angles égaux avec une mçme ^^mptote [G. S. ^80).
171. Les tajigentes menées par les extrémités d'urt ^iumètré sont parallèles au diamètre conjugué.
Car leur point de rencontre situé à Finfini est le pôle dii ^amètre, et conséquemment est situé sur le diamètre conjugué.
172. Trois systèmes de deux diamètres conjugués sont ^^ involution.
Cela résulte' du théorème général (108).
173. // existe toujours un système de deux diamètres, ^^njug^ués rectangulaires; et il nen existe quun.
Conséquence du théorème (110).
On appelle axes d'une conique les deux diamètres conjugués rectangulaires.
ii8 TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES.
Ces axes sont déterminés en direction quand on connait en direction deux systèmes de diamètres conjugués
174. Les couples de diamètres, conjugués font deux faisceaux homo graphiques en im^lution .
Conséquence du théorème (109). ' JPar conséquent : Quatre diamètres ont le même rapport ànharmonique que les quatre diamètres conjugués.
175. Dans la parabole on dit que des cordes .parallèles sont conjuguées au diamètre sur lequel sont les milieux de ces coi*des. La tangente au point où le diamètre rencontre la parabole est évidemment parallèle aux cordés. Cela posé :
Quatre cotdes quelconques d'une parabole ont leur Jonction anhcmrionique [*) égale au rapport -anharmo^ nique des quatre diamètres conjugués à ces cordes respec^ tii^ement.
En efiet, concevons les- quatre tangentes parallèles aux quatre cordes : les points de contact seront sur les quatre diamètres conjugués. La fonction ànharmonique des quatre tangentes çst égale au rapport anharmbnique des points dans lesquels elles coupent une cinquième tangente quelconque (58). Mais ce rapport ànharmonique est ^gal à celui des droites menées d'un point de la parabole âux quatre points de contact (2), et par conséquent est égal au rapport ànharmonique des quatre diamètres, puisquMls passent par le point de la parabole situé à rîniîni. Donc, eto.
176. Quand un angle est circonscrit à une-conique, la droite menée par le sommet de l'angle et le milieu de la corde de contact passe par le centre de la courbe-.
(*) rsuas avons nommé {bS)foncthn ànharmonique de quatre droitei qui ne passent pas par un même point, la fonction de sinus qui eiplimeratt le rapport ànharmonique des quatre droites si elles partaient d'un poifit unique.
CUAP. YI. — DIAMÈTRES ET CENTRE miNE CONIQUE. 119
En eifet, cette droite est la polaire du point de la corde de
conuct situé à Tinfini (99, 4^) 9 ^^nc cette droite est un
diamètre^ et conséquemment passe par le centre de la
courbe.
177. Les cordes menées des extrémités d'un diamètre d'une conique j à un point quelconque de la courbe, sont parallèles à deux diamètres conjugués.
Soient A//i, k'm {fig* 70) les deux cordes^ p^ jf leurs milieux, et O, milieu de AA^ le centre. Op et 0/9^ sont parallèles à A' in et A m respectivement. Or O/9 est le lievi des milieux des cordes parallèles à Qf/ \ par eons^uentO/» est le diamètre conjugué à OpI , Donc, etc.
GoROLLÀiHE. — II suit de là,-d^ après le théorème (170), que : Dans Vhyperbole équilatère les droites menées des extrémités d* un diamètre à un point de la courbe font des angles égaux ai^ec une asjrmptote.
178. Les cordes menées des extrémités d'un diamètre à un point de la conique font, à partir du centre, sur le diamètre conjugué deux segments dont le rectangle est constant et égal au carré du demi^iamètre çon-^ jugué.
En effet, les deux cordes Am, A'm {Jig* 71) tournant autour des points A, A' extrémités du diamètre AA', rencontrent le diamètre conjugué OB en des points n, ni qui forment deux divisions homographiques. Les points doubles de ces divisions sont évidemment les points de la courbe?, 6' (réels ou imaginaires) situés sur ce diamètre. De plus, quand le point n d'une division coïncide avec le centre O, le. point n'de l'autre division est à Tinfini. Pareillement, quand /»' coïncide avec O, le^ point n esta Tinfini : de sorte que les deux divisions s'expriment par 1 équation
On. On' = constaflle {G. S,, 120).
Ëty puisque B et B' sont les points doubles,
Ce qui démontre le théorème.
Remarque^ — Cette relation prouve que les deux points n^ n^ sont conjugués harmoniques par rapport aux deuil B, B', et couséquemment conjugués par rapport à la conî- <jue(103).
179. Les diamètres parallèles aux deux cordes A'/n, Âm font sur les tangentes en A et A' deux segments Aa, A! a égaux le premier à O/i', le second k On respectivement, La relation précédente donne dès lors
Le produit des segments que deux diamètres conjuguéi font respectii^ement sur deux tangentes parallèles^ à par tir des points de contact de ces tangentes ^ est égal ah carré du demi-diamètre parallèle aux tangentes.
180. Le diamètre Oa' rencontre la tangente A a en a ; le segment A a est égal à A'a', et de signe contraire. Ainsi
Aa,Aa= — OB - Donc ;
Le produit des segments que deux diamètres conjuguéi font sur une tangente fixe, à partir du point de contact dé cette tangente, est constant et égal au carré du demi-diamètre parallèle à la tangente, mais de signe contraire^
Dans l'hyperbole ÔB est imaginaire, OB néçatif^ couséquemment on a
Aa.AoL=zÔB [fig. 72),
et les points «, a sont d'un même côté du point A.
