Dans l'équation
on peut regarder x', x" comme les obliques abaissrées sur le diamètre b parallèlement à son conjugué a 9 on peut donr dire que :
La somme des carrés des obliques abaissées des extré^ mités de deux demi^diamètres conjugués sur un diamètre fxe, parallèlement à son conjugué, est constante.
Aires des parallélogrammes construits sur deux diaoïèti'es. — Aires des secteurs.
199. L'aire du parallélogramme construit sur deux demi-diamètres quelconques est égale à l'aire du parallélogramme construit sur les deux demi-diamètres conju-^ gués.
En effet, on a (19i)
<ni
^;r"sin(rt, b)=^ay sin[ja^ b).
Or k produit 6a/' sîn (a, l>) exprîmele double de l'aire du triangle ^'^OB, ou du triangle n/'OB, ou Taire du parallélogramme, construit sur les deux demi-diamètres OB, Om^. Pareillement, a)'sin(a, i) exprime Faire dU parallélogramme construit sur les deux demi-diamètres OA, Om\ Donc, etc.
200. L'aire du parallélogramme constjiiit sur deux àemi'diamètres conjugués Om', Om'' est égale à l'aire du parallélogramme construit sur deux autres demi-dia- ^ti\Bs conjugués OA, OB {^g. 82).
L'aire du triangle w"0//i' formé par les deux dcmi-dia- Jïïèires conjugués Om', Om'', est égale à Taire du trapèze fnni"f/p' moins la sommé des aires des deux triangles
;i3o TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES.
m'Op'^ m"Op'\ savoir
(^'l y';i5-±J^ sinAOB — l-{x' j' -\^ x" x")sm kOTi =:f>l±^sinAOB. .
Or
.r"=^'.^ et y'=:.r'.- (194).
Il vient donc
D'où résulte le théorème énoncé.
Autrement : Les deux triangles w'04^,fw"0B sont équivalents (199). Ajoutant aux deux le triangle BOm', on a les deux quadrilatères OAm'B et Otn"^ni\ équivalents. Retranchant, respectivement, de ces deux quadrilatères les deux triangles BAm', Bm^'m qui sont équivalents, parce que la droite Arnf\ sur laquelle sont leurs sommets A, m'', est parallèle, à leur base commune B/71' (189), on conclut que le^ deux triangles BOA, m" 0ml sont équivalents. Ce qu'il fallait démontrer •(*).■
Les deux théorèmes précédents peuvent être compris sous un. seul énoncé, savoir :
Etant pris deux systèmes de diamètres conjugués', le parallélogramme construit sur deux quelconques de ces quatre diamètres est équii^alent au parallélogramme con^ struit sur les deux autres.
201. Si Ton suppose deux demi-diamètres , infini mciit voisins, on peut prendre la.surface du triangle qu'ils détela
(*) Cette démonstration m'a été communiquée par M. Lçcoq, capitaine d*état-major.
GHAP, VI. — .DUMfcTRES ET CENTRE D'UNE CONIQUE. 1 3 / minent, pour celte du secteur qu'ils interceptent dans l'ellipse; et si Ton regarde la surface d'un secteur (M:)mpris entre deux demi-diamètres quelconques , comme formée d'une infinité de triangles dont les bases seraient les éléments de ^arc^da secteur, on en conclut que :
Le secteur elliptique compris entre deux demi-diamètres quelconques est équivalent au secteur compris entre les deux demi-diamètres conjugués.
n s'ensuit que les segmenta sont aussi équivalents,
