Les relations
^— -i! il — £
donnent
Donc : Dans une conique, le produit des distances de Vextréndté d^un diamètre à deux diamètres conjugués est égal au produit des distances de l* extrémité du diamètre conjugué aux deux mêmes diamètres.
De sorte qu^une hyperbole qui a pour asymptotes deux diamètres conjugués d'une conique, coupe la courbe sur deux autres diamètres conjugués.
203. ly et ly étant deux demi -diamètres conjugués^, ainsi que a, &, on a (199) l'équation
a . D'.sin (ly, «) = A . D" sin (IT, b),
qui s'écrit
D' 6 sin (D^^ b) jy' ~" tf * sin (D', a)'
Ce qui fait connaître le rapport de deux demi-diamètres ^njugués, quand on connaît leur direction relativement à, deux autres den&i^iamètres conjugués dont le rapport est
i32 TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES:
204. Expression de la perpendiculaire abaissée du centre d'une conique sur une tangente.
La perpendiculaire abaissée dû centre isur une tangente est égale à la projection, sur sa direction, du dcmi-dtamèlre qui aboutit au point de contact. Le carré de cette projection est égal  la somme des carrés des projections de deux demi-diamètres conjugués quelconques (196). Prenons poiir ces deux demi-diamètres les demi-axes de la courbe, que nous appellerons a et b'^ on aura
p^ = rt' ces' a 4- ^' ces' 6 ,
a et 6 étant les angles que la normale fait avec les deux axes.
205. Êlant donnés deux diamètres conjugués d'une ellipse y construire en direction et 'en grandeur les deux axés de la courbe.
Soient Oa, 06 [fig^ 83) les deux diamètres conjugués: qu^on mène par Textiémité du premier la parallèle au second, ce sera ta tangente à la courbe; et deux diamètres conjugués quelconques rencontreront cette tangente en deux
pointsE,Ftels, qu'on aura aE.a F = — Ob (180). Donc si sur la normale. en a on prend deux segments aG, aG' égaux à O i, tout cercle mené par les deux points G, G' rencontrera la tangente en a, en deux points E, F appartenant à deux diamètres conjugués; et si ce cercle passe par le centre O de la courbe, ces diamètres seront les axes de là courbe.
Ôr, si le cercle passe par le point O, les deux angles GOE, G'OE seront égaux. Donc Tun des axes cherchés divise en deux également Tangle des droites OG, OG', et l'autre divise en deux également le supplément de cet angle. ^Quant aux grandeurs A, B des deux demi-axes, leur ex-
CHAP. VI. — DIAMÈTRES ET CENTRE D*UNE CONIQUE. i33
pression est
, OG-hOG' „ OC — OG'
En edfely on a (197 et 200) les deux équations
A'-|-BV=Ofl'4-06' el A.B^Oa.06.sinaO^.
Or
OG =Ofl 4-«G — 20û.aG.cosOaG,
OG' =0fl H-flG' — 20fl.flG'.cosO«G'.
Mais
tfG = rtG' = 0*, co9 0flG' = sin^0^, ces 0/7 G =— cosOflG' = — sina06.
Par conséquent les expressions de OG etOG' deviennent
OG =0û 4-06 H-20£î.0^.sinfl0^, D'où
OG' =Ofl -*-0ô —20a.0b.sina0b.
QgV 0G''= 2 (OflV O^') PG — OG' =:4-^«0^«n«Û*.
11 en résulte •
ogVog' ,,
2%. T MJ ,
Delà
ou bien
OG=(A-|-B)' et OG'=(A-B)',
OG = Ah-B, 0G'=:A-B.
i34 TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES.
El finalement !
