CHAPITRE TIL

GONSÉOOENCES DE L'ÉGAUTÉ DU RAPPORT ANHARMONIOUE DE QUATRE POINTS EN LIGNE DROITE ET DE CELUI DES POLAIRES DE CES POINTS. - NORMALES ET OBUQUES A UNE CONIQUE, MENÉES D UN MÊME POINT.

^ I. — Génération d'une conique.

^ffè. Un point p, une droite L, et une çoniqUe, sont don^ nés : une transversale, tournant autour du point, coupe la droite en un point m, et la conique en deux points a, a'; si Von prend le point ^ conjugué de va par rapporta a et a', le lieu de ce point sera une conique, qui passera par le point p -, par le pôle de la droite L \ par les points d ^intersection de cette droite et de la conique^ et enfin par les points de contact des tangentes menées du point p à la conique.

En effet, soit P (Jig* 87 ) ie pôle de la droite L : la polaire du point m sera la droite P/ui, car elle doit passer par le pèle de la droite L (402) et par le point fx de la transversale pni (99, I**). Quatre points m, m\, . ., donneront quatre droites Pfx, Pjui', . . . , qui auront leur rapport anharmonique égal à celui desquatt^ points (11?)? et égal par conséquent à celui des quatre droites pm, pm\ .... Donc le lieu du point p. sera une conique qui passera par le point p et par le point P (8). Cette conique passera évidemment aussi par les points d'intersection de la droite L et dé la conique proposée, et par les points de contact des tangentes à cette courbe partant du point p.

CouoLLAiRE. — Si la droite L est à Tinlini, le point p. est lo milieu de la corde aa' , Donc :

CHAP. VU. -^ CONSÉQUENCES D'UNE PROPOSITION. 187 Si autour dwi point fixe on fait tourner une droite et (fnon prenne le milieu des deux points ou elle rencontre une conique, ce point milieu est sur une autre conique^ (jui passe par le point fixe, par les points de contact des tangentes menées de ce point y et par les deux points de la conique proposée (réels ou imaginaires)^ situés à F infini,

210. Étant pris dans le plan d'une conique, un point jixeO {fig' 88) et une droite L, par chaque point m de cette droite on mène la droite mO et sa conjuguée dans la conique : cette droite conjuguée nifx em^eloppe une conique quiest tangente à la droite L, à la polaire du point O, aux deux tangentes à la conique proposée; issues du point O, et aux deux tangentes menées par les points de rencontre de cette conique et de la droite L.

La démonstration sera calquée exactement sur celle du tfiéorème précédent.

Corollaire. — Si le point O est le centre de la courbe, renoncé général devient :

Étant pris une droite fixe dans le plan d'une conique^ si par chaque point de cette droite on mène un diamètre de la courbe et une parallèle au diamètre conjugué : toutes ces parallèles enuelopperout une parabole tangente aux deux asymptotes (réelles ou imaginaires) de la conique proposée, ainsi quaux tangentes aux points de rencontre d^ cette courbe et de la droite fixe.

211. Étant données une conique et deux droites fixes, si sur ces droites on prend deux points conjugués par rapport à la conique^ la droite qui joint ces points eni^etoppe ^ne conique tangente aux deux droites et aux .quatre tangentes à la conique proposée menées par les points où ces droites là rencontrent.

Eh eflety soienta, A, . • • > 4es points de la premirîre droite : ^curs polaires relatives a la conique rencontrent la seconde

t38 TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES,

droite en des points a^ i'f. . . , qui sont les. conjugues des premiers ( 103 ) . Ces polaires passent par un même point *, le rapport anharmonique de quatre points a, £,..4 est égal k cejui de leurs polaires (117) 9 lequel est égal à celui des quatre points a'yb'^ . . . Donc les droites a«', W, . . . , envdloppem une conique (9) . 11 est évident que cette conique satisfait aux conditions énoncées dans le théorème.

Corollaire. — Si Tune des droites est à l'infini, on çn conclut que :

Si par clia^ue point (V une droite on mène une parallèle à la polaire de ce point , toutes ces parallèles env^elàppent une parabole tangente à la droite,

La parallèle à la polaire d'un point, menée par ce point, est une corde qui a son milieu en ce point (169) : cette dernière proposition peut donc prendre cet énoncé : Si par tous les points d'une droite on mène les cordes d^une cornique.qui ont leurs milieux, en ces points, ces droites enveloppent une parabole tangente à la droite.

212. On démontrera satis difficulté le théorème corrélatif suivafnt : ,

Si autour de deux points fixes on fait tourner deux droites conjuguées par rapport à une conique, le point d*irttersectioti de ces droites décrit une conique qui passe par les deux points fixes et parles quatre points de^ contact des tangentes à la conique proposée, menées par les deux points fixes .

213. Quand deux" angles sont circonscrits à une conique, les quatre points de contact de leurs côtés et leurs sommets sont six points appartenant à une- même conique.

Soient O, Cy {fig^ 89) les sommets des dejix angles \ à, h et c, d les points dé contact de leurs côtés respectifs. Il suffit de prouver que les deux faisceaux de quatre droites

CHAP. Vn. — CONSÉQUENCES DUNE PROPOSITION. iSg Où, 04, Oc, Orf/et O'a, O' A , O'c, O'd ont le même rapport ainbarnionique (8). Or les quatre premières droites ont UD rapport anharmonique égal à celui de leurs pôles a , 6 , y, J; y et î étant ïes points où les côtés O'c, O'd du second angle rencontrent la corde ab, Mais le rapport anharmonique des quatre points a, i, y, ^ est égal à celui des quatre droites O'a, O'J, O'y, O'd. Donc, etc.

Obsewation. — On exprime la même proposition en disant : Quand un quadrilatère est circonscrit à une coni^ (fue^ les points de contact des côtés et deux sommets opposés sont six points d'une même conique.

Le théorème) que nous venons de démontrer directement, peat se conclure aussi, comme conséquence, du théorème

214. Quand deux angles sont circonscrits à une conir- (jue, les^ quatre côt^s et les deux cordes de contact sont six droites tangentes à une même conique.

Soient 0,0^ (^g* 90) les sommets des deux angles; ab, cd les deux cordes de contact, que les côtés des angles rencontrenl respectivement en 7, â et a, S. Il suffit d^ prouver que les deux séries' de quatre points a,.&, y, d et a, ë^ c^.d (Uit leurs rapports anharmoniques égaux (9). Or le rapport ailbarmonique des quatre derniers points est égal à celui des polaires de ces points, lesquelles sont les droites Oa, 0"4, Oc, Od\ et le. rapport anharmonique de ces droites est égal à celui de leurs points a, 6, y, ^, situés sur la corde ab. Donc, etc.

Observation. — Ce théorème s'exprime aussi de cette maïïière : Lorsqu'un quadrilatère est inscrit dans une conique, fci tangentes aux quatre sommets, et deux côtés opposés ^ ^ont six tangentes à une même conique.

Le théorème peut être considéré comme une conséquence <ïeraprôjposîhbn (2*0).

i4o TRAITÉ DES SECTIOJNS COWQUES. . -,

^ II. • — Deux sjstb.mas de Unis points conjugués par rapport à une conique,

215. Si Von prend dans le plan d'une conique deux systèmes de trois points conjugués^ ces six points seix>nt situés sur une conique ; et les six côtés des deux triangles dont ces deux systèmes de points sont les sommets, sont langçnts à une autre conique.

Soient a, i, c {Jig* 91 ) et a', b\ c' les deux systèmes de points» Pour déuiontrer la première partie du theorenO^e, nous allons prouver que Jes deux faisceaux de quatre droites menées des deux points c, d aux quatre autres, ont le mêjoie rapport anharmonique.

En effet, le rapport anbarmonique des quatre droites c [a^b^ a'^ b') est égal à celui de leurs pôles, qui sont les points b\a^ 6' intersection de ab par c'b*^^ et 0/ intersection de ab par dp!. D'ailleurs, le rapport anharmonîque de ces quatre points est égal àcelui des quatre droites cf{b^a, b\ â'), . ou, en changeant l'ordre de celles-ci , au rapport anhàrmonique des quatre d (a, b^a\ 5'). Ce qu'il fallait prouver.

Poi^t la seconde partie du théorème, nous allons démontrer que -les deux séries de quatre points dans lesqcrels les deux droites ab , a'b' sont rencontrées par les qltfitre autres, ont leurs rapports anharmonîques égaux, ^savoir : que (rt,J, a', 5')= (a, 6, û', i'').

En effet, les quatre premiers points «j-i, a', 6' ont leur rapport anharmonique égal à celui de leur» polaires (147). Ces polaires sont les droites cb^ ca^ cb' ^ cci^ dont le rapport anharmonique est égal à celui des points ë, a, V ^ al dans lesquels elles rencontrent- la droite a'^i', on im^ertendo k celui des points a, ê, «', b\ Ce qu'il fallait prouver.

Donc, etc.

Ce théorème donne. lieu à deux propositions réciproques qui suiveiit.

CHAP. VÎI. — œNSÉQtENCES D'UNE PROPOSITIOTÎ. i4i

216. Quand fleiix triangles ont leurs six sommets sue une conique, ces points for-ment deux systèmes de tirui's points conjugués par rapport à une autre conique.

Soient abc^ ciVc^ les deux triangles. On peut construire une conique dans laquelle les trois points a^ h^ c seront conjugués deux à deux, et le point a' sera le pôle de la droite I/cf (1S7). Celte courbe satisfait à. la question. En effet, appelons y le point qui sur AV sera le conjugué do b' par rapport à- celte conique. Les six points a, b^ r, (i\V^ 7» seront sihr une mt>me conique (215). Le point y coïncide donc avec le point c' j et, conséquemment, les trois points a', b\ d sont conjugués par rapport à la conique conslruite. Ce qui démontre le théorème.

217. Quand deux triangles sont circonscrits à uneconiifuey leurs sommets fonnent deux systèmes de points conjugués par rapport à une autre conique,

La démonstration sera calquée sur là précédente. Du reste o.n remarquera. que celte seconde proposition se conclut de la première, puisqu'on a vu que, quand deux triangles sont circonscrits à une conique, ils sont inscrits à une autre conique (61).

218. Quand trois points a, b, c, situes sur une CQuiquc 2, sont conjugués par rapport à une autre conique C, on peut déterminer sur la première courbe une infinité d^ autres sys^ times de trois points a', b', c' conjugués par rapport à la seconde.

Qu!on prenne a* arbitrairement sur la conique Z; la polaire de ce pointpar rappoit à C rencontre S en deux points b'^ c' qui satisfont à la question, c'est-à-dire que les trois pointa a', i', c* sont conjugués par rapport à la conique C.

En effet, la droite b'c' étant la polaire du point «', il «Jxiste sur celle droite un point c" qui forme avec les deux point* a', b' un système de trois points conjugués : et les

i42 TRAITÉ DES SECHONS CONIQUES,

points a, b^ c, a', b\ d' sout sur une même conique (315).. Mais cette courbe ne peut être que 2 qui passe par les cinq premiers points. Donc c'' coïncide avec c'. Ce qui démontre le théorème.

Corollaire.— Il résulte de ce théorème que : Étant don^ nées deux <: uniques quehonques C, S, on ne peut pas, en général^ déterminer sur tune un système de trois points qui soient conjugués par rapport à Vautre,

Car si un tel système existait, il'y en aurait une infinité d'autres^ et il faudrait' qu'un point a étant pris a volonté sur Z, la polaire de ce point par rapport à C rencontrât Z en deux points i, c conjugués par rapport à C. Ce qui évidemment n'a pas lieu en général.

§ IIL — Normales et obliques à une conique, menées par un point donné,

219. Si d'un point fixe on abaisse une perpendiculaire sur chaque diamètre dune conique^ et qu'on prenne le point d^intersection de cette droite et du diamètre conju* gué : le lieu de ce point sera une hyperbole équilatère passant par le point fixe, par le centre de la conique donnée et par les pieds des nor niâtes abaissées du point fixe sut la conique j et, dont les asymptotes sont parallèles aux axes de cette courbe.

En effet, considérons des diamètres A, B, C,. .\ y oomme* formant un premier faisceau : leurs conjugués A', B', G',..., constitueront un faisceau homographique (174-). Les perpendiculaires ithaissées du point fixe, sur lès premiers diamètres, formeront un faisceau homographique au pren^ièr, et par conséquent au second. Donc elles rencontreront respectivement les diamètres A', B', C',..., en despoints.n, n\ /»%•-., situés sur une conique passant par le point fixe et le centre de la conique proposée (8). Ce lieu des points /i, «', . ... est

CHAP. Vn. — CONSÉQUÇNCRS D'UNE PROPOSITION. i43 évidemaieat une hyperbole équilaière ayant set asymptotes parallèles aux axes de la conique donnée.

Concevons maintenant une normale abaissée du point P sur la conique, c'est-à-dire une droi te perpendiculaire a la Ungeate au point où elle rencontre la conique. Celte droite est perpendiculaire au conjugué du diamètre qui passe par ce point: donc ce point est sur l'hyperbole. Donc, etc.

220. Réciproquement : Si une hyperbole équilatère passe parle centre dune conique, et a ses asymptotes parallèles aux axes de la conique, les normales à celle-ci, méfiées par les points oit Phyperbole la rencontre, concourent en un même point de f hyperbole.

En effet, soit m \\n des points d'intersection des deux courbes ; et a le point où la normale à la conique en m rencontre rhyperboie. Si du point a on abaisse sur la conique trois autres normales, leurs pieds seront sur Thyperbole équilatère passant par les points a^ m, et le centre de la conique, et ayant ses asymptotes parallèles aux axes de la conique. d'Ile hyperbole se confond avec f hyperbole proposée. Doue, etc.

221 . Si, au lieu de perpendiculaires, on abaisse du point donné sur les diamètres Â, B,. .., des obliques sous un angle constant, dans un même sens de rotation, le^ pieds de ces obliques sur les diamètres conjugués seront encore sur nne conique passant par le point donné, par le centre de laconique proposée, et par les pieds des obliques abaissées sur cette courbe sous l'angle donné,

La conique aura deux points à Tinfini (réels ou imaginaires) sur 1/es diamètres conjugués de la conique proposée dont Pangle est égal à celui des obliques,

La démonstration de ce théorème général est absolument U même que pour le cas des perpendiculaires : et le théorème donne la solution de ce problème : Abaisser d'un

point donné sur une conique des obliques sous Un- angle

donné, dans un sens de rotation donnée

Le problème adpiet quatre solutions; et hait quand le sens de rotation dans lequel xloî vent être oàenéês les obliques n'est pas indiqué. Dans le cas des perpendiculaires les deux systèmes de solutions seconfondent (*).

222. Les perpendiculaires abaissées d'un point donnée sur les tangentes d'une parabole rencontrent les diamètres menés par les points de contact de ces tangentes j'en des points situes sur une hyperbole, équilatère qui passe par le pointVet dont une asymptote estparattèlè à Taope de la parabole,-

En effet, quatre tangentes en quatre points a, b\ . ." . , ont leur fonction anharmoiiique égale au rapport anbàrmonique des quatre points dans lesquels ces tangentes rencontrent une autre tangente fixe (58) -, celui-ci est égal au rapport enharmonique des droites menées des quatre points à^ i, . . . , à un point de la parabole (2), et par conséquent au rapport anbarmonîque des diamètres partant des quatre points a, 6, ... . Les perpendiculaires abaissées dit point P

(*) Ge problème des normales, qai se résout, comn^e on le voit, avec une einrème facilité, est une des questions qui |irésehtafent le plus de difHeut> tés dans la Géométrie des Grecs. Apollonins Ta résolu dans le Y^LÎTre de son Traité des sections ron/^uej ( propositions 58-63)» en 9é senrant'det Thyperbole'équilatère. Il détermine la position des asymptotes , eë .qui su^t pour construire la courbe, puisqu'elle passe par le point donné, d'où Ton mène les normales.

, Cette hyperbole, que nous oYOps considérée comme le lieu d^spointsT d'intersection des rayons homelogiies de deux faisceaux homographiques, peut être considérée de plusieurs autres manière s. Elle est, pair exefinple, le Mev des milieux des cordes que des cercles décrits' du point donné,j)omine celitre, interceptent dans la conique proposée. De nombreuses propriétés des coniques dérivent de là. On peut consulter à -ce sujet un Mémoire sur les lignes conjointes dans lesconîques, inséré dans le tome lll du h)urnalde Bfathémati^ quesde M. LiouviHe, année i838; voir p. 4io-4^o.

CHAP. VII. — CONSÉQUENCES D'UNE PROPOSITION. i45 sortes quatre Ungences; om donc leur rapport = «nharoHi* nique égal a celui des quatre diaoïètrea. Douq Ica points d'intersection sont sur une conique qui passe par le point P et par le point de la parabole situé a Tinfini.

Cette conique est une hyperbole équilatère. EfTeçûve-^ mmiy eUq a deux points à l'iofini . Car d'abord, &i Ici point a eitap somipet de la parabole, le point de la cQ^rb^ situé sur la perpendiculaire menée du point P à la taugeate en a est i riqfini sui: Taxe de la parabole. Ensuite, si la perpendicataire menée du point P sur une taugente est perpendiculaire à Taxe, la tangente est située à Tinfini et se confond afec lé diamètre qui part du point de contact. Done le pdnt fikaé i Tinfiiii sur la perpendiculaire à Taxe de la parabole appartient i la conique. Done cette eourbe est une hypeflK>}e) et cette hyperbole est équilatère.

Elle rencontre }a parabole en trois points, autres que leur point commun situé à Tinfini, et chacun de ces pointe est le pied d'une normale abaissée du point P sur la parabole. On peut donc mener par un point trois normales à une parabole.

Les mêmes considérations s*appliquent au cas des obliques partant d'un point, sous un angle de grandeur donnée.

223. Si autour d^un point pris dans le plan d^uneconique^ on fait tourner une transv^ersale, et que par son pôle on mène une perpendiculaire à cette droite : ces perpendiculaires successives env^eloppent une parabole qui est tangente à la polaire du point fixe et aux tangentes à la coniqi4ç menées par les pieds de ses normales abaissées de ce point.

Car à quatre transversales répondent quatre pôles^ qui Oût leur rapport anharmonîque égal à celui des quatre transversales (117), et par conséquent à la fonction anharmonîque des quatre perpendiculaires (88). Donc ces quatre

droites sont tangentes à une parabole tangente à la polaire

dû point fixe (ibid. ) •

Quand la transversale est normale à la conique en un point, la tangente en ce point est la perpendiculaire à la transversale. G>nséqueniment les tangentes communes à la parabole et à . la conique proposée toucbent ceUe-ci en des points qui sont les pieds des normales abaissées du point donné.

De là résulte une nouvelle solution du problème dé 77ze/ier des normales à une conique par un point donné.

224. Si, au lieu de mener, par les pôles des transversales, des perpendii^ulaires à ces droites, on menait des obliques faisant un angle constant, dans un sens de rotation déterminé, on prouverait de même que ces obUques enveloppent une parabole dont les tangentes communes à Ja conique proposée, ont pourpoints de contact sur celle-ciles pieds des obliques abaissées du point donné sur cette conique*

CHAP. Vin. — DIVISIO^s homog. sur UJNE COMQUE. i47 CHAPITRE YIII.