SI
825. Nous appellerons divisions homo graphiques sur une conique, deux siéries de points pris sur cette courbe, tels, quQ les droites menées de ces points à un autre point de la coarbe, forment deux faisceaux homographiques.
Les rayons doubles de ces deux faisceaux marquent sur la conique deux points que nous appellerons les points doubles des deux divisions.
226. Si les deux faisceaux sont en inv^olution (G. «9., 248), on pourra dire que les deux divisions homographiques sont elles-mêmes en involution. Alors les cordes qui joignent deux à deux les points homologues des deux divisions concourent en un même point (139).
Et réciproquement : Quand une transi^ersale tourne autour d'un point fixe y les couples de points dans'les^ (juels elle rencontre une conique forment deuQC diwions homographiques en immolation.
227. Les droites menées des points de deux divisions homographiques sur une conique^ à un point quelconque de la courbe, forment toujours deux faisceaux homogra^ phiques dont les rayons doubles aboutissent aux points doubles des deux divisions.
Soient a, i, c^. . . et a', b\ c', . . . (fig. Qo) les deux séries de points qui forment les deux divisions homographiques, et e, f les deux points doubles. Par hypothèse, les
i4B TRAITÉ DKS SECTIOINS CONIQUES.
droites menées à tous ces points, d'un certain point O de la conique, constituent deux faisceaux homographîques dont les rayons doubles sont 0<?, 0J\ Il faut démontrer qu'il en est de même des droites menées d'un autre point CV de la courbe. Or, par hypothèse,
Mais les deux membres de cette égalité sont égaux respectivement à 0'{a, ft, e?,/) et (y (a', //, <?,/) (4). Donc
0'{a,b,e,f)=zÇy{a',b\e,f).
Ce qui prouve que les rayons Qf a^ Ofh et CVo', OfU appartiennent à deux faisceaux homc^raphiques dont -(y©, tff sont les rayons doubles. Donc, etc.
228. Quand on a sur une conique deux . dwisions homographiqueSy les drmtes menées de deux points quelconques de la conique aux points dès deux div^isions, respectivement^ forment deux faisceaux homographiqueê.
En eflet, soient <?, A, r, . . . eln', •&', c', . • • ïcs points des deux divisions, et O, O' deux autres points quelconqties de la courbe. Les deux faisceaux 0(rt, A,...) et.O(«\ ^v) sont homographiques ; ce qui vient d^ètre prouvé. Mais le deux faisceaux 0(/i', bf^,..) et O^ (^, V . . .) le sont aossS-. (4). Donc les deux faisceaux 0(a, i*. . .) e\.Q([a'^ V. . . lisent homographiques. Donc, etc.
Réciproquement : Quand deux faisceaux homographi'-^ ques ont leurs centres en deux points d'une conique, le points de t^ncontre de la conique et des rayons de chaqu faisceau forment sur cette courbe deux divnsions homogra phiques.
Par exemple : Si autour de deux points d^une coniqt^^
onfaii tourner deux cordes parallèles, leurs ext remit ^
JoÊntent deux divisions homographiques.
' de deux points fixes P, Q {^g. 93), ^^n
CHAP. Vm.— DIVISIONS HOMOG. SUR UWE CONIQUE. 149 Jaii tourner deux droites qui se coupent sur une conique, et rencontrent la courbe en deux autres points a, a^ ces deux points forment deux dii^isions homographiques dont les points doubles sont les deux points e^ i de la courbe situés sur la droite PQ.
En effet, soit m le point de concours des deux droites Pa, Qa^ Les deux points ^ et m forment deux division^ homo- ^raphiques (226) ; de même les deux points a' et m. Donc ^ et a' forment deux divisions Iiomographiques. Quand le 3point m se trouve en e, a et a' coïncident en /, qui par couâéquent est un point double des deux divibions. Et de même, le point 0. Donc, etc.
230. Quand deux div^isions ho ma graphiques sontj'oi^ mées sur une conique, les droites menées des deux points doubles et de deux points homologues j à un même point de la courbe, ont un rapport anharmonique constant, quel que soit ce point de la courbe y et quels que soient les deux points homologues pn's dans les deux div^isions.
Soient a, a (fig* 94) deux points homologues des deux
(Ilvisions^ e,y les deux points doubles, et m un autre point
de la' conique. Je dis que le rapport anharnionique des
ytiaire droites ma, ma', me, mf est constant, quels que
«oient les deux points homologues a, a' des deux divisions,
^t: le point m de la courbe.
En effet, les droites menées du point m aux points des deux d i ^visions forment deux faisceaux homographiques (227) : ^onséquemmentle rapport anharnionique des quatre droites "'^^s, ma[^ me, mfesi constant, quels que soient les deux points homologues a, a' (G. &, 153, 176). Mais les droites '■^^-«iiëes d'un autre point de la conique, aux quatre mêmes I>c>iiits dy a', e,f, ont lé même rapport ^enharmonique que '^* "^^xatre droites ma, ma', me, mf (4). Donc, elc.
. %3l , Quand on a deux dis^sions homographiquC&s sur
i5o TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES.
une conique, les droites menées d^un point pris sur la courbe aux points des deux 'dis^isîons forment, sur la corde qui joint les deux points doubles, deux diinsions homographiques dont ces deux points sont aussi les points doubles^ et ces deux dissions restent les mêmes, quelque soit le point pris sur la conique.
En effet, soient e, f [fig. 94) les points doubles des deux divisions homographiques^ a, a' deux points homologues; et et, a' les points où les deux droites ma^ ma'^ menées d'un point m, rencontrent la droite ef. Les quatre droites ma, ma'^ me, mfonl un rapport anharmonique constant, quels que soient les deux points homologues a, a\ et quel que ,soit aussi le point m (230). Or ce rapport est le même que celui des quatre points a, a', e, f. Donc celui-ci est constant. Donc les deux points variables a, et! forment deux divisions homographiques dont les points doubles sont e,f[G. «S., 153). Ce qu'il fallait prouver.
232. Lorsqu'un^ conique passe par les points doubles de deux divisions homographiques (a, ot') faites sur une droite L, si autour de deux points homologues ol, a' on fait tourner deux droites dont le point de Concours glisse sur la conique, et qui rencontrent cette courbe en deux autres points a, a' : les deux divisions honio graphiques, formées par ces couples de points a, a' (229), seront toujours les mêmes ^ quels que soient les deux points homolo'gués cf, OL des deux divisions rectilignes, autour desquels on fait tourner les deux droites.
En eâet, les droites menées d'un point quelconque de la conitjue aux deux points a, a' des deux divisions formées sur cette courbe par les droites qui tournent autouf des deux points a, a', rencontrent la droite L en deux points qui appartiennent à deux divisions homographiques (227).
s divisions sont les mêmes que les deux divisions pro-
CHAP. VIIL — DIVISIONS HOMOG. SUR UNE CONIQUE. i5i posées, parce que les points doubles soni les mêmes, et que les deux points homologues a, a^ sont communs aux deux systèmes. Donc, etc.
233* Si Von a sur la droite qui joint deuoa points d'une conique (Jig* gS) deux div^isions homo graphiques («,«') dont les points doubles soient les deux points de la coni" que, et que d'un point fixe P on mène à chaque point cl de la première division une droite qui rencontre la coni" gue en deux points a, ai ; puis, que dun de ces points a^ on mène au point a! de la seconde division une droite qui rencontre la conique en un point a! : les deux points a, ^l for-^ ment deux divisions homo graphiques , ainsi que les deux points ai et a^
. {^n effet, les deux points a ex. a! forment deux divisions homographiques (232). Mais la droite a^i passant par un point, fixe P, les deux points a, ai forment aussi deux divisions homographiques (226). Donc les deux points à et a! forment deux divisions homographiques; et par conséquent aussi les deux points ai, a\ Donc, etc.
Corollaire. — Si le sommet a^ [fig* 96) dun angle de grandeur constante, dont un côté tourne autour d'un point JixeV^ glisse sur une conique, ce point ai et les deux points a et a', dans lesquels les côtés de V angle rencon-trent la conique , forment sur la courbe trois divisions ho' mographiques.
En effet, les deux droites ai P, ai a', faisant un angle de grandeur constante, leurs parallèles, menées par un point fixe, forment deux faisceaux homographiques, et par conséquent rencontrent, la droite située à Tinfini en des points qui appartiennent à deux divisions homographiques. Or ces points sont aussi sur les droites ajP, a^a'. Donc, etc.
S34. Étant données, sur une conique^ deux divisions Pornographiques a, b, c. . . et a', b', c'. . . [Jig. 97), les
i52 TKAITÉ DES SECTIONS COSIQUES.
deux droites menées de deux points ifWêlcon^ues de la
première dii^isiùri aux deux points komotù^ues de lase^
conde division pris inv^ersement, comme at/ et W, ê^ cùu-
pent sur la droite qui joint les points doubles des thux
divfisions.
En effet, soient enfles deux points doubles. Les quatre droites a' (a^b^ ^if) et les quatre droites a {a\ 5', e,/") ont le même rapport anharqionîque (228). Or les deux droites a'a et aa' coïncident ; donc le point de rencontre des deux droites a'&, ab^ est en ligne droite avec les deux points e, f qui sont les points de concours des couples œ, afe et «/» <f {Gr S., m) . Donc, etc.
Autrement. Soit O, un point de la conique. Les rayons O (a, i, c, . . .) et O (a', b\ c', . . . ) forment deux faisçaux komograpbiques dont les rayons doubles «ont Oe^ 0/*(2â7)« Les trois couples Oa, O i' ; O i, O»'» et Oe, Q/" sont en. involution (G. aS.,. 259). Donc les trois. droites ab% ba! et ej passent par un même point (139). Ce qu'il fallait prouver.
Corollaire I. — Deux systèmes de trois points a, i, c et a', y, c', pris arbitrairement sur une conique, et qu'on fait correspondre deux à deux respectivement, détermiûent âêux divisions homograpbiques. Par conséquent, les points dHntersection des trois couples de droites al/^iaf] hd^cU et cfl', nef sont en ligné droite. Ce qu'on exprime en disant que : Dans tout hexagone inscrit à une conique, les points de concours des côtés opposés sont en ligne droite. Théorème de Pascal (22) .
Corollaire IJ. — ^^Puîsque celte droite, sur laquelle se cou* penl'les trois couplet de droites ab\ bcl^ , . . passe pat les deux points doubles des deux di vision^. bomographiques a, i, G,..., a'; i', c<, ..., il en résulte une soIutioB fbrl simple de ce problème : Construire' les points doubles d^ deux divisions homograpl}iques sur une conique, coMMtiS' sant trois couples de points homologues.
CHAP. Vin. — BIVISIONS HOMOG. SUR UNE CONIQUE. i53 On ràntrquera que cette construction s'applique à~ la recherche des rayons doubles de deux faisceaux homographîques d^rminés par trois couples de rayons homologues, et qa*eUe ne difière point de celle que nous avons déjà donnée de cette question (151).
235. Quand deux séries de points-diy h^.\ . et a', b', . . . , pm sur une conique (fig. gS)^ forment deux di\^isions fio^ fnographiqueSy les tangentes en ces points rencontrent la corde qui joint les points doubles des deux diinsions, en deux séries de poihts « , 6 . . . •, a\ 6' . . . , qui forment deux £sdsions homographiques, et ont pour points doubles les deux points de la courbe situés sur cette corde.
En effet, les dieux cordes ab\ ba'se coupent en un point i de la vorde ef qui joint les points doubles des deux divisions {23*); par conséquent, le point de concours des tâùgentea en a et l/, et le point de concours des tangentes m b^X a! sont en ligne droite avec le point de concours des tangentes en e et/(98, 2°). Cette ligne droite est la polaire du point 1.
Donc les trois couples de points a, 6'; 6, a\ et e,/ sont en involution (148). €e qu on peut exprimer par Tégalitë de rapports anharmoniques :
Changeant Tordre des points de la seconde série, on en cODdm:
(pp,«', ^,/)=:(6,6', ^,/). (G.S.ykO.)
Donc a, o/ font avec e^f le même rapport anharmonique que S^'ff, Ce qui prouve que les deux couples de points a, S ^^ct\ ff appartiennent à deux divisions bomographiques doute, ^sont les points doubles (G. -5., 153). Donc, «te.
Réciproquement : Quand deux tangentes à une coni- 7«€ rmdent sur la courbe, de manière que leurs traces sur
i54 TRAITÉ DES SECTIONS C0NIQU6S.
une droite ^xe forment deux diyisions homograpliiques ayant pour points doubles les deux points de rencontre (le la conique et de la droite, les points de contact des deux tangentes forment sur la conique deux div^isions homograpliiques qui ont aussi pour points doubles ces deux points de rencontre.
236. Étant données deux dii^isions homographiques sur une conique, si, du pôle de la corde qui joint les points doubles, on mène des dix>ites aux points des deux div^isions : ces adroites forment deux faisceaux homographiques dont les rayons doubles passent par les points doubles des deux diyisions.
En efTet, soient a^ b (fig, 99) deux pomts delà première division, a\ b' les points homolognes de la seconde division ^ enfles deux points doubles, et O le pôle de la corde ef Les deux droites ab'^ ba' se coupent en 1 sur la droite e/*(234). La polaire de ce point i est la droite qui joint les points de concours des côtés opposes du quadrilatère inscrit aalhfh (118), et le point O se trouve sur cette droite (103). Donc les deux tangentes Oe, Oy*, et les deux couples de droites^ Qa^OV et 06, Oa' menées aux sommets opposés du quadrilatère sont en involutlon (12S). Ce qu^on expiime par l'égalité de rapports anharmoniques :
(Ofl, Ou', Oe, Of)={Ob\ Ob, O/, Oe).
Changeant Tordre des droites du second faisceau, on en conclut :
(Oa , O «', Or, O/) = (O b, O b\ Oe, O/).
Donc les droites Oa^Ob appartenant à un prenûer Xaisceau, les droites Oa\ O b' appartiennent à un faisceau homographique^ et les rayons doubles des deux faisceaux sont Oe, 0/ (G- 5., 153, 176). c, q. f. f.
^7* Quand 099 a deux iiit^si'ons iiomographîques sur
CHAP. Vin. — DIVISIONS HOMOG. SUR UNE CONIQUE. i55 une conique, les tangentes aux points des deux divisions rencontrent une tangente ^xe en deux séries de points (jui forment sur cette droite deux divisions homografhiques^ dont les points doubles sont déterminés par les tangentes aux points doubles des deux dwisions homographiques sur la conique.
En effet, soient a, &,. . . et a', &',... les points des deux divisions : a, 6,. . . et a*^ 6',. • . les traces des tanr gentes en ces points sur la tangente fixe. Les droites menées d'un point O de la conique à quatre points a, &,•••, oat leur rapport anharmonique égal à celui des quatre points a, 6,. . . (2). De même à l'égard des droites Oa\ W^ • . . , et des points a', 6', . • . • Mais quatre droites Oa, 0&,. • ., ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre droites Oa', 0£V*'9 (^7). Donc quatre points a, 6, ... , ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre a', S',. . . . Donc, etc.
Réciproquement : Quand deux dis^isions homogrorphiques sont formées sur une tangente d'une conique^ si par chaque couple de points homologuas des deux diidsions on mène des tangentes à la conique, les deux points de contact marqueront sur la courbe deux dii^isions homogra^ phiques, dont les points doubles seront les points de con^ tact des tangentes issues des points doubles des deux div^isbns rectilignes.
En effet, si d^un point quelconque O de la conique pn mène des droites aux points de contact des tangentes, ces droites formeront deux faisceaux homographiques \ car le rapport anharmopique de quatre droites sera égal à celui dés quatre points de la tangente fixe, d'où sont menées les ^ngentes, dont les points de contact déterminent les quatre droites (2). Donc, etc.
