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iuie conique^ les tangentes en deux points homologues m§. ^ {fis- 1^ ^ \^ ^^ '^^ M9f génies mix deux points dmttles
CHAP. VUI. —DIVISIONS HOMOG. SUR UNE CONIQUE. iJhj e, f rencontrera wie cinquième tangente en quatre points ipU ont un rapport anhamionique constant, quelle que soit cette cinquième tangente, et quels que soient les deux points homologues a, a' ries deux divisions.
En effet, les Ungentes aux couples de points homologues desdeux divisions, tels que a, «', rencontrent une tangente quelconque L en des couples de points a, a' qui forment deux divisions homographiques, dont les points doubles e, cf appartiennent aux tangentes aux deux poipts doubles e, /(237). Ainsi, quels que soient les deux points homologues a, a', le rapport anharmonique des quatre points «, a\-e^ (f est constant (G. S., 153). Mais les points dans lesquels les quatre tangentes en a, a\ e, f rencontrent une autre tangente quelconque L\ ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre points a, a\ e, (^ (5). Donc, etc.
Observation» — Les quatre derniers théorèmes (237- S40) sont les corrélatifs des théorèmes (227-234)^ et les ^atre théorèmes suivants (241-244) correspondent sem- UaUement aux quatre théorèmes (231-234); c'est pourquoi nous en omettrons les démonstrations, qu'on rétablira sans difficulté.
241. Quand on a deux divisions homographiques sur me conique, si^ du pâle de la corde qui joint les points doubles, on mène des droites aux points où les tangentes à la conique en ses points des deux div^isions rencontrent u/ie autre tangente quelconque, ces droites forment deux faisceaux homographiques qui ont pour rayons doubles les tangentes à la conique aux points doubles des deux AV/sioTis.
242. Quand deux faisceaux homographiques ont pour nijfons' doubles E, F deux tangentes à une coniquey si par les points ou une tangente quelconque rencontre deux ntfons homologues des deux faisceaux^ on mène deux
i58 TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES.
nou%felles tangentes à la conique^ leurs points de <:ontact a, z! formeront deux divisions homographiques .qui auront pour points doubles les points de contact des deux tan-gentes E, F.
243. Étant donnés, deux faisceaux homographiques quiont le même centre^ et une droite L, si par le point de rencontre de cette droite et d^un rayon a du premier faisceau on mène une tangente a à une conique, et par le point où cette tangente rencontre le rayon homologué a' du second faisceau, une tangente a', les points de contact des deux
tangentes a, dJ foiment sur la conique deux divisions ho^ mographiques ,
244. Étant données deux divisions homographiques a, b, c^ . « • et a', b', c', . . . sur .une conique, si Voii mène des droites qui joignent, chacune, le point de concours des tangentes en deux points quelconques des deux divisions, tçls que a et b', au point de concours des tangentes aux deux pointsh et a', correspondants, mais pris inversement^ ces droites passeront toutes par le pôle^de la cordé qui joint les points doubles des deux divisions.
Corollaire 1, — Deux systèmes de tjrois points a, i, c et a', i', c' prîs arbitrairement sur une coniqae, déterminent deux divisions homographiques : par conséquent les trois droites dont chacune joint deux points tels, que le point d'intersection des tangentes en a et b' et celui des tangentes en & ela' passent par un même poml. Ce qu'on exprimera en disant que : Dans un hexagone circonscrit à une conique les diagonales qui joignent les sommets opposés passent par un même point. Théorème de M. Brianohon (28).
Corollaire II. — r Puisque ce point, par lequel passent les trois droites, est le pôle de la corde qui joint les deux points doubles des deux divisions homographiques détermî-
CHAP. Vra. — DIVISIONS HOMOG. SUR UNE CONIQUE. iSg nées parles trois couples de points a, a*\ bj b' et c, c\ il en résulte, comme on le voit, une construction des deux points doubles.
Polygooes inscrits ou circonscrits à une conique.
245. Quand un polygone^ dont tous les côtés tournent autour d'autant de points fixes, placés d*une manière (juelconque, a tous ses sommets, moins un, sur une co^ nique : les deux côtés adjacents au dernier sommet ren-contrent la courbe en deux points qui forment deux di^i^ sions homographiques .
Soit, par exemple, un quadrilatère abcd {fig. 102), dont trois sommets a, &, c glissent sur une conique, pendant que les quatre côtés da^ ab^ bc^ cd^ tournent autour des quatre points A, B, C, D. Je dis que les deux points m, m' dans lesquels les côtés adjacents au dernier sommet £? rencontrent la conique, forment sur cette courbe deux divisions homographiques.
En effet, les deux points m, a forment deux divisions homographiques (226). De même les deux a et 6 , les deux heiCj et enfin les deux cet m\ Donc, etc.
