CHAPITRE IX

œURBES POLAIRES RÉQPROQUES. - CONIQUES HOMOGRA- PHIQUES; HOMOLOGIQUES.

§ I*"^. — Polaires réciproques.

â49. Les polaires des points d'une courbe C, relatives à une conique ft, enveloppent une courbe C, qu'on appelle h polaire de ^ courbe C.

Réciproquement, la courbe C est la polaire de C; c'est-à-dire que les points de C ont pour polaires les tangentes de la courhe C.

En effet, la polaire d'un point m de la courbe C touche la courbe enveloppe C en un point m', qui est à Tintersection de cette polaire et de celle du point j:x infiniment voisin de m surC \ or ce point m' est le pôle de la droite m\k ( 102). tangente à la courbe C. Donc^ etc.

Les deux courbes C, C jouissent donc de propriétés réciproques. C'est pourquoi on les a appelées polaires réciproques (*).

250. Deux figures polaires réciproques sont deux figures corrélatii^es.

En eflet^ à un point de l'une correspond une droite dans Tautre ^ et quand des points de la première figure sont en ligne droite, les droites correspondantes passent par un même point, et ont entre elles des rapports auharmoniques

(*) Nous avons donné dans V Aperçu historique {voir p. 219 et 870) une Notice sur Torigine et le développement de cette théorie des pôles et polaires.

102 TRAITlt DES SECTIONS CONIQUES.

égaux à ceux des points correspondants (H7)', ce qui est le

caractère des figures corrélatives (G. S., 576).

251 . Deux courbes polaires réciproques jouissent de celle propriété, qne chacune d'elles est rencontrée par une droite en autant de points qu'on peut mener de tangentes à Tautre par un point donné.

-C'est ce qu'on exprime, à l'égard des courbes géométriques, en disant que V ordre d'une courbe est égal à la classfi de Vautre. Car on désigne par le mot classe le nombre des tangentes (réelles ou imaginaires) qu'on peut mener à une courbe, d'un point quelconque 5 de même que V ordre d'une courbe est déterminé par le nombre desf points de rencontre (réels ou imaginaires) de la courbe et d'unedroile quelconque.

252. La courbe polaire d\ine conique C est une autre conique G.

Considérons deux tangentes fixes A, A' de la conique C : les autres tangentes les rencontrent en des couples de points a, a'; fe, J'; . . . .

Soient P, P les pôles des deux droites A, A' par rapport à une conique fl, et a, 6,. . ., les pôles des tangentes aa', bb\ .... Les droites Pa, P S, . . . sont les polaires des points û, £...', et correspondent anharmoniquement à ces points, c'est-à-dire que quatre droites ont le même rapport anharmonique que les quatre points dont elles sont les polaires (H 7). Pareillement, les droites P'a, PS,... sont les polaires des points a', i', . . . et correspondent anharmoniquement à ces points. Or les deux séries de points a, 2», . . • , et a', i', . . . sont homographiques (7). Donc les deux faisceaux de droites Pa, PS,... et P'a, P'ê,... sont aussi bomographiques. Donc les points a, 6, . . . sont sur «ne conique (8). c. o. F. p.