Les relations métriques de deux figures polaires

CHAP. IX. — CONIQUES POLAIRES RÉCIPROQUES. i63 réciproques dérivent de celte propriété que : quatre points en ligne droite dans une figure ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre droites con^espondantes dans f autre figure ( i ^ 7 ) .

On déduit de là plusieurs conséquences déjà démontrées dans la théorie des figures corrélatives (G. «S., 585-591). Nous nous bornerons à les rappeler ici :

Étant pn's dans le plan d'une conique deux points fixes a, b, et leurs polaires A, B, puis une droite quelconque M et son pôle m : le rapport des distances de ce point aux deux dmites A^ B, est au rapport des distances de sa polaire M aux deux points a, b, en raison constante.

Ce que nous exprimerons ainsi, en employant la notation que nous avons déjà mise en usage (40) :

On a une expression très-simple de la constante 1 en sapposant la droite M à l'infini : son pôle m devient le centre O de la conique, et il en résulte

On obtient une autre expression de X en supposant que le point m coïncide avec i, et par conséquent la droite M ayec B : il vient alors

^4. Les deux expressions de X montrent que

^8 qui exprime que : Si ton prend dans une conù/ue les

i64 TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES.

pôles de deux droites, les distances respectii^es de chacu de ces droites au pôle de Vautre sont entre elles dans rapport des distances des deux droites au centre de courbe,

255. Les deux droites A, 6 sont quelcoDques. Suppose que, la première restant fixe, la seconde soit mobile; repi sentons celle-ci par M et son pôle par m \ la formule change en

Cette relation très-simple pourra servir pour passer c propriétés d'une figure à laquelle appartiendrait le point, à la figure polaire réciproque formée par les droites M.

§ II. — Coniques homo graphiques,

256. La théorie des figures homo graphiques se trou dans le Traité de Géométrie supérieure (art. 500-57Î Nous rappellerons seulement ici la définition et la propri< fondamentale de ces figures (*).

{*) Il ne ft'agit que des figures planes. La théorie des figures homog phiques à trois- dimensions a été donnée dans V Aperçu historique, paru i837y mais qui ayait fait le sujet d'un ouvrage adressé sept ans auparav (en janvier i83o) à l'Académie de Bruxelles.

Différents modes de transformation des figures planes, connus dep longtemps, rentrent dans la théorie des figures homographiques, notamm la méthode de Newton exposée dans le lemme XXII du i^^i'-livre des Princi mathématiques de la philosophie naturelle, et celle de Waring qu'on troi dans les deux ouvrages de l'auteur : Miscgllanea anafytica, p. Sa, et Propt , tates curvarum algebraicarum, p. 240.

Par la première méthode on forme des figures homographiques qui < des dépendances de position particulières. La construction géométrique co I di^â relations e^Ltrèmement simples

CHAP. IX. — CONIQUES HOMOGRAPHIQUES. i65

257. Deux figures sont appelées homo graphiques quand des points et des droites, dans l'une, correspondent, res^ pectivement, à des points et à des droites dans t autre, comme cela a lieu, par exemple, dans deux figures susceptibles d'être mises en perspective l'une de l'autre.

A des points en ligne droite, dans une figure, correspondent des points en ligne droite dans l'autre figure, puisque à des droites correspondent des droites.

258. La propriété fondamentale des figures homographiques est bien simple : Quatre points d'une des deux figures y en ligne droite , ont le ménie rapport anharmoni" que que les quatre points correspondants de Vautre figure.

Et par suite : Deux faisceaux de quatre droites qui se correspondent dans les deux figures ont le même rapport anharmonique.

Pour exprimer un peu plus brièvement ces égalités de rapports anharmoniques, nous pourrons dire que les points ^ ligne droite dans les deux figures se correspondent anharmoniquement, et que les droites, dans deux faisceaux, se correspondent aussi anharmoniquement.

tBtre les coordofinées x, y et x\ y' des points correspondants des deux figures.

U transformation de Waring, que ce géomètre présente comme la gêné- -■^lisatiouii de la méthode de Newton, s'exprime par les formules générales

ax'^hx'-^c a'x'-+-b'y'-hc'

.- a" x' H- b" y -^ c"' ^ "«"x'-f-fc^y-f-c"

^ neuf coefficients a, b,... qui se réduisent à huit, permettent de prendre arbitrairement quatre points do la nouvelle figure, qui doivent cor- '^pondre à quatre points désignés de la figure donnée. De sorte que ces Qgures ont toute la généralité de position que comporte le sujet.

^s figures que M. Mbbius a appelées coUinéaues dans son Traité du calcul ^^centrique (Leipzig, 1827 ) sont aussi des figures homographiques les plus générales, dont le célèbre auteur a donné l'expression barycentrique, et une ^construction géométrique fort simple.

i66 TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES.

Ces relations servent à construire la (igure homographique d'une figure donnée, quand on connaît quatre points de la nouvelle figure qui doivent correspondre à quatre points désignés de la première.

259. Les mêmes relations conduisent à celle-ci : Si l'on prend dans une Jigure deux droites fixes ^ et dans la figure liomo graphique les deux droites correspond dantes : les rapports des distances de deux points homologues quelconques à ces deux couples de droites, respectwernent, sont en raison constante.

Lorsque l'une des deux droites fixes d'une figure est située à l'infini, la distance qui se rapporte à cette droite devient infinie ; mais le théorème subsiste comme si cette dislance devenait égale à Tunité. (G. S,, 514.)

• 260. La figure homographique dhaie conique est une seconde conique.

Pour le prouver, prenons deux points fixes P, Q de la conique proposée , autour desquels tournent les deux cordes P/w, Qm qui se coupent sur la courbe. A ces droites correspondent , dans la figure homographique , des cordes P'm', Q'/w', qui passent par deux points fixes P', Q', et se coupent en un autre point ni! variable. Les droites P'm' correspondent anharnioniquement aux droites Pm (258) ; et les droites Q' m! aux droites Q m. Mais celles-ci correspondent anharmoniquement aux droites P/w (6). Donc les droites Q'm' correspondent anharmoniquement aux droites V m'. Donc les points m' sont sur une conique (8). Ce qu'il fallait prouver.

261 . Quand deux coniques C, C sont homo graphiques, si Von considère dans l'une un point et sa polaire, ilcor*respond, dans l'autre, un point et sa polaire.

Soient {fig' io4) un point p et sa polaire L relative à la conique C^ une transversale menée par le point /? rencon-

CHAP. IX. — CONIQUES HOMOGRAPHIQUES. 167 Ire cette droite et la courhe en des points q et a^ 6*, et les quatre points p, ^, a, h sont en rapport harinonique. A ces points correspondent dans la conique C, quatre points \)\ q\ a\ b' qui sont aussi en rapport harmonique (258) ; ce qui prouve que le point q' appartient à la polaire du point p'. Donc, etc.

262. Quand deux coniqiufs sont honiograpliiqueSy deux points conjugués dans l'une correspondent à deux points conjugués dans tautre. Et deux droites conjuguées cor^ lespondent à deux droites conjuguées.

Cela est évident d'après la proposition précédente.

263. Deux coniques quelconques peuvent être considérées comme deux figures homo graphiques dans lesquelles trois points donnés de Vune correspondent à trois points donnés de Vautre,

Soient a^b^cala^b'^c^ [fie* ^^^) '^^ deux systèmes de trois points donnés sur les deux coniques \ et «f un quatrième poiutde la première. On déterminera comme suit, le point correspondant d' sur la seconde. On prendra sur les deux courbes deux points quelconques O, lî', et par ce dernier on mènera les droites ft a', iî'i', H' c' et une quatrième Q.'d' faisant avec les trois premières un rapport anharmonîque égal à celui des quatre droites Oa, OJ, Oc, Orf. Cette droite rencontre la seconde conique en un point d'.

Que l'on construise maintenant la figure homographi([ue à la conique C, en prenant les quatre points a', ft', c', d' pour correspondre respectivement aux quatre a^ b^ c, d (G. 4$., 506) . Je dis que cette figure sera la conique C. En effet, ce sera une conique (260), et elle passera par les quatre points n\ b\ c\ d\ puisqu'ils correspondent aux quatre rt, fc, c, d. Le point O' correspondant à O sera sur ceUe conique. Comme les deux iigiiies sont liomographi-

i58 TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES.

nouvelles tangentes à la conique^ leurs points de <:ontact a, 9l' formeront deux dmsions homographiques.qui auront pour points doubles les points de contact- des deux tangentes E, F.

243. Etant donnés deux faisceaux homo graphiques qui ont le même centi'e, et une droite L, si par le point de renconti'e de cette dmite et d^un rajon a du premier faisceau on mène une tangente a à une conique, et par le point oii cette tangente rencontra le rayon homologué a' du second faisceau, une tangente a', les points de contact des deux tangentes a, sl' forment sur la conique deux divisions ho-mogtxiphiques.

S44. Étant données deux divisions homographiques a> b) e> . « • et a\ b', c^ . . . sur une conique, si Von mène des dix>ites qui joignent, chacune, le point de concours des tangentes en deux points quelconques des deux divisions, teh que a et h\ au point de concours des tangentes aux tieux points h et a! y correspondants y mais pris inversement^ ces droites passeront toutes par le pôle^ile la carde qui joint les points doubles des deux divisions.

Corollaire i. — Deux systèmes de Urois points a^ bj c e.t a\ b\ c' pris arbitrairement sur une conique, dëtcr^ minent deux divisions hom<^aphiques : par consécpcnt les ^rois droites dont cbacone joint deux pcKnts tek, cpie le point d'inteffsecdou des tangentes en a et b' et celni des tattgientes en b eia' passent par un même point. Ce qn^on. exprimera en disant que : Dans un hexagone circonscriB à une conique les diagonales qui joignent les sommetm opposés passent p€U' un même point, Théorème M. Brîancbon (^)*

Corollaire II. — Puisque ce points par leqœi les trois droites, est le pôle de la corde qui joint les den points doubles des deux divisious homographiques détemû —

CHAP. Vra. — DIVISIONS HOMOG. SUR UNE œNIQUE. iSg nées parles trois couples de points a, ù!\ ft, ft'et c, c\ il en résulte, comme on le voit, une construction des deux points doubles.

Polygones inscrits ou circonscrits à une conique.

245. Quand un polygone, dont tous les côtés tournent autour d* autant de points fixes, placés d'une manière quelconque f a tous -ses sommets, moins uri, sur une conique : les deux côtés adjacents au dernier sommet rencontrent la courbe en deux points qui forment deux div^isions homographiques.

Soit, par exemple, un quadrilatère abcd {fig* 102), dont trois sommets a, i, c glissent sur une conique, pendant que les quatre côtés e/a, a&, &c, c//, tournent autour des quatre points Â, B, C, D. Je dis que les deux points m, m' dans lesquels les côtés adjacents au dernier sommet â? rencontrent la conique, forment sur cette courbe deux divisions bomograpbiques.

En eflet, les deux points w, a forment deux divisions homographiques (226). De même les deux a et &, les deux b et c, et enfin les deux c et m'. Donc, etc.

246. De là résulte une solution bien simple de ce pro* blême :

Inscrire dans une conique un polygone dont tous les cétés passent par autant de points donnés.

On prendra arbitrairement sur la conique le point m qui détermine le premier côté d'un polygone et par suite tous les autres. Le dernier côté rencontre la conique en un point m'. On détermine de même deux autres couples de points. Ces trois couples appartiennent à deux divisions Komograpbiques dont les points doubles résolvent la question.

Il y a donc deux solutions.

170 TRAITÉ DES SFXTIONS COISIQUES.

Corollaire. — Puisque deux droites homologues «e coupent sur Taxe d'homologie, il s'ensuit que : La droite à Vinjini dans une figure y a pour homologue^ dans Vautre figure, une droite parallèle à Vaxe d^homologie.

EiTectîvement, si les points m! de la seconde figure sont à Tinfini, les points correspondants de la première figure sont déterminés par Téquation

et sont par coitséqueiit sur une droite parallèle à Taxe dliomologie.

266. Ces figures homologiques ne diffiènint des figures faomograpliiques que par la position relative dès deux figures. Conséquemment toutes les propriétés des figures bomographîques leur appartiennent.

Ainsi : I. Quatre points en ligne droite dans une figure ont le même rapport auliarmoniquc que les quatre points homologues de Tautre figure.

II. Deux faisceaux de quatre droites, qui se correspondent, ont aussi le même rapport anharmonique.

in. Le rapport des distances de chaque point d'une figure à deux droites fixes A, B, et le rapport des distances du point correspondant de l'autre figure aux deux droites A', B'qui correspondent à A, B, sont en raison constante.

Ce que nous exprimons ainsi

Si Tune des droites, B' par exemple, est à l'infini (auquel cas B est parallèle à l'axe d'homologie), la dislance*

[ni' ^ B') disparaît de l'équation, qui devient