CHAP. IX. -- CONIQUES HOMOLOGIQUES

médiatement, car il est parallèle à la droite donnée (265,

CorolL) ; el la constante X exprime sa distance à cette droite.

En effet, si nous supposons que le point m soit sur Taxe

d homologie, m' coïncide avec m, et Téquation devient

S/w = A» 5 ou nip = \,

mp

268. Quand on donne le centre et Taxe d'homologie, il faul,pourcpnstruire une figure homologique, connaître, en outre, deux points homologues, tels que a, al [fig. 106). Ces points servent à déterminer la constante \ dans Téqualion générale (i), et Ton peut construire ensuite tous les points de la figure au moyeu de Téquation.

Mais la construction peut se faire immédiatement aussi par de simples intersections de lignes droites ; car pour déterminer le point m' qui correspond à un point m de la figure donnée, il suffit de mener la droite nia qui rencontre l'axe d'homologie en un point e, et la droite ea\ qui lui correspond dans la seconde figure : le point m' est à Tintersection de cette droite et de Sm (*).

369. Des deux points homologues donnés a^ a', Tun, «' par exemple, peut être pris à Tinfini [fig* 107) : la construction reste la même.

Dans ce cas, on obtient immédiatement une expression très-simple du segment mm'. Les deux triangles semblables 'nem', ma S, donnent

S/71 ma , S m, me

mm' me

Si Ton mène par le point a une droite I parallèle à l'axe d'homologie X, le rapport — sera égal au rapport

(*) Dans le Traité des l'ropriétés projectives{p. iCa et suiv.), M. Poncelet mmèneles différents cas que présente la théorie des figures hoinologiques, à ^tte construction graphique, sans employer aucune relation de segments.

i.j4 traité des skctions coniques.

des distances mq^ mp, du point m aux deux droites X eti <^ de sorte qu'on aura

mm' =z Sw • — — mp

Celte expression de mîu' conduit sur-le-champ à la fo mrmule (2) ci- dessus. Car

mm' = S /m' — S/w ; donc

Sw' — S///==S/w.^:

et

ou

mp Sm = S//Ï ( — -■ ] =. po » :

^ , . Sw mp

Cette formule va nous être d'un grand usage (*).

(*) De La Hire, qui le premier (en»iG73) a considéré ce mode de transl'oi^ mation des figures planes, prenait le point a' à l'infini. Il nommait le poîB^ S, pôle; la droite \,Jormatrice; sa parallèle menée par le pointa, directri^^'la figure donnée était un cercle, appelé cercle générateur^ et la courte décrite recevait le nom de planiconique, parce qu'elle était effectÎTemeot u"* section conique, mais engendrée sur le plan du cercle et sans le secours d'un cône. De La Hire employait seulement cette surface pour démontre' que la courbe pouvait être placée sur un cône ayant pour base le cercle donné, et conséquemment était une section conique. Ensuite les propriétés de cette conique se déduisaient directement de celles du cercle. (Voir Aperçu historique f etc., p. i28-i3o.)

De La Hire n'a pas connu l'expression du segment mm' qui se déduit, comme on l'a vu, de sa construction. Mais trente ans pïus tard (en iyo4)|tin géomètre de Mons, Le Poivre, en suivant une marche semblable, a été conduit à l'expression de ce segment pour déterminer chaque point de la coorbe engendrée. C'était un pas heureux, qui mérite d'être remarqué dans celte théorie: car, dans toutes les questions de géométrie, les relations métriqmes sont toujours plus i'écondes et plus puissantes, que celles où n'entrent que des intersections de lignes, et qu'on appelle, ^ar opposition, descriptives.

L'ouvrage de Le Poivre est intitulé : Traité des sections du cylindre et du cône, considérées sur le solide et dans le plaUy ai'ec des Démonstrations simples ft nouvelles. Paris, 170'! ; in-80, (h pages. L'auteur appelle sommet, le point S;

CHAP. IX. — COiNIQUES HOMOLOGIQUES. 175

§ IV. — Coniques homologiqiufs , dont l'une a son centre de figure au centre d'homologie,

270. Étant donnés une conique C et un point S pris pour centre d'homologie, on demande de construire une conique homologique qui ail son centre de figure en S.

Appelons a la conique homologique demandée. Pour la coDslruire, îl sufBt d'exprimer que la droite située à Tinfini dans la seconde figure, correspond à la polaire du point S relative à la conique C. Car cette droite située à Tinfini sera la polaire du même point S relativement à la conique homologique a (266, VI) •, ce point sera donc le centre de a.

D après cela, on déterminera les points m de cette courbe, qui correspondent à des points M de la conique C [fig^ 108), par la formule

MP étant la perpendiculaire abaissée de chaque point M sur la polaire I du point S relative à la conique C.

Si le point S est extérieur à la conique donnée C, la co-

^«•j Taxe X; et la parallèle al, directrice. Cette dernière clénominaUon est ^Uede La Hire ; néanmoins, comme je l'ai dit ailleurs {Aperçu hisi.y p. i3o), 'i^n n'autorise à eroiro que Le Poivre ait connu le livre des Planiconiques. Une seconde édition de l'ouvrage de Le Poivre, renfermant « des démonstra- * tioDs plus simples et plus générales que celles de l'édition de Paris », a paru àMoDs en 1708. L'auteur y a mis une préface, dans laquelle il fait connaître sctrelatioQS avec le marquis de L'Hôpital; et l'ouvrage se termine par une ^pnnse à la critique que le Journal des Savants avait faito de l'édition de 1704. UPoivre, dans cette réponse, dit qu"!! n^a point connu les Planiconiques de De la Hire.

Un exemplaire de celte édition de 1708, qui paraît aussi rare que celle de 1704, a été retrouvé par M. C. Wins, et réimprimé en i854, à Mons, par les uios de eet énidit bibliophile et de M. Quételet, Téminent secrétaire perpétuel de l'Académie royale des Sciences de Bruxelles. A cette réimpression, que réclamait le mérite de ce petit ouvrage, se trouvent jointes deux Notices intéressantes, dues aux savants éditeurs. Mais on regrette que la Réponsu de Le Poivre au Journal des Savants n'y ait pas été reproduite in extensoj et fiu'il ne s'en trouve que des extraits, dans une dos doux Notices.

iiiquc homologiquc cr est toujours une hyperbole, quelle que soit'C, ellipse, hyperbole, ou parabole^ les asymptotes de cette hyperbole <j sont les tangentes de C, menées par 1^ point S. Mais si S est intérieur à C, la conique a est toujours une ellipse.

271. La formule (i), qui convient à deux âgures homologiques quelconques, prend, dans le cas particulier de deux coniques, d'autres expressions que nous allons faire connaître.

La transversale SM rencontre la conique C en un second point M' auquel correspond sur <j un point rrJ \ et Ton a