FN = FT

Donc, u étant le pied de la perpendiculaire abaissée du foyer sur la tangente, uM = uT, Mais l'ordonnée MP est la polaire du point T-, le point A est dès lors le milieu du segment TP, et par suite, le point w, milieu de TM, est sur la tangente au sommet A. Donc, etc.

Corollaire. — Si du foyer on abaisse sur chaque tangente une oblique Fm' faisant avec la perpendiculaire Fu un angle de grandeur constante^ cette oblique sera proportionnelle à la perpendiculaire, et par conséquent le pied m' sera sur une droite. Donc :

Les pieds des obliques abaissées dufoyerd^une parabole sur les tangentes, sous un même angle et dans un mênia sens de rotation, sont situés sur une droite.

Cette droite est tangente à la parabole (60).

287. Si autour d\in point V [fi g- 118) on fait tourner une corde aa', et que d'an foyer on mène les rnyo/is Fa,

Fa', on a entre les angles qu ils font ai^ec la droite FP, la

relation

tang - «FP . tang - a'FP = const.

En effet, un cerclfe décrit du poiiitF comme centre sera homologique à la conique (275). Aux cordes Paa' correspondront, dans ce cercle, des cordes passant par un même point, et Téquation qu'il s'agit de démontrer aura lieu en vertu de ces cordes (G. *S., 700, CorolL).

Corollaire. — Soient Fa^, ¥ a\ les bissectrices des deux angles a FF, a' FF. L'équation précédente devient

tang «, FF. tang. a', FF = const.

Ce qui prouve que les couples de droites Fai, Fa', sont en immolation (G. 5., 252, 3*^). Conséquemment ces droites sont, en direction, des diamètres conjugués d'une conique (172, 184).

288. Si autour d'un point fixe on fait tourner une fransi^ersale qui rencontre une conique en deux points , la. somme algébrique des distances de ces points à un foyer y dii^isées respectii^ement par leurs distances à la polaire du point fixe y est constante.

Cela résulte immédiatement du théorème (144), dans lequel on prend pour la droite fixe la directrice de la conique, et l'on remplace les distances des points de la courbe à cette droite par leurs distances au foyer.

Il faut ici distinguer les signes comme au n^ 144. Nonseulement les distances des deux points de la courbe à la polaire du point fixe auront des signes dépendants des directions suivant lesquelles ces distances seront comptées, mais aussi les deux rayons vecteurs-, car ils prendront les signes mêmes des deux perpendiculaires qu'ils remplacent.

Dîiiis l'ellipse ot la parabole, ces perpendiculaires sont

CHAP. X. — FOYERS DES SECTIONS CONIQUES. 189 toujours de même signe. Dans Thyperbole, elles sont de même signe, si les deux points de la courbe sont sur une seule branche, et de signes différents, si ces points sont sur les deux branches.

289. Si autour A' un foyer on fait tourner une droite , qui rencontrera la courbe en deux points, la différence algébrique des valeurs in\^erscs des distances de ces points au foyer est constante.

Dans Tellipse et la parabole où les deux points de la courbe sont situés de part et d'autre du foyer, c'est la somme des inverses des valeurs- absolues des deux distances, qui est constante.

Et dans l'hyperbole, c'est la somme ou la différence^ suivant que la droite rencontre la courbe en deux points situés sur une même branche de la courbe, ou sur les deux branches.

Cela résulte de la formule (2) du chapitre précédent (271).

290. De même on conclut de la formule (3) que : Dans une conique les cordes qui passent par un foyer

iontproportionnelles aux carrés des diamètres quvleursont parallèles.

291 . Les rayons vecteurs menés d'un foyer à deux points 'w, m' d'une conique [fig- 119)5 étant proportionnels aux perpendiculaires abaissées de ces points sur la directrice, sont aussi proportionnels aux segments /m, inil que la directrice détermine sur la corde mm'. Conséquemmcnt le point i appartient à la bissectrice de l'angle des deux rayons vecteurs ou à la bissectrice du supplément de cet angle.

On peut donc dire que :

Quand on donne le foyer et deux points d\ine conique, la directrice correspondant à ce foyer passe par Vun des

deux points ou les bissectrices des angles formés par les rayons vecteurs menés aux deux points donnés, rencontrent la droite qui joint ces points.

De là résulte^une construction fort simple de la directrice d'une conique dont un foyer et trois points sont donnés, et par suite une construction de la courbe.

Cette question admet quatre solutions dont une seule donne une ellipse ou une parabole, et les trois autres, des hyperboles.