II

292. Les tangentes à une conique , menées par un foyer, sont deux droites imaginaires dont les points à Vinfini appartiennent à un cercle^ en d'autres termes, les deux tangentes sont les asymptotes d'un cercle.

En effet, deux droites conjuguées menées par un foyer sont toujours rectangulaires, et peuvent être considérées comme deux diamètres conjugués d'un cercle (276) \ par conséquent les deux droites relativement auxquelles elles sont conjuguées harmoniques, et qui sont les deux tangentes à la conique (IH), se trouvent par cela même les deux asymptotes du cercle, ou les droites qui passent par les points du cercle situés à Tinfini. (G. 5., 651.)

293. Les tangentes à une conique, menées par un foyer, sont les rayons doubles des deux faisceaux bomograpbîques formés par les rayons menés du foyer aux points où toutes les tangentes de la courbe rencontrent deux tangentes fixes (17). Donc, puisque ces rayons doubles sont les asymptotes d'un cercle, l'angle de deux rayons homologues est de grandeur constante (G. *$.^ 051). C'est-à-dire que :

* L'angle qui a son sommet au foyer d'une conique et que sous-tend la partie d'une tangente comprise entre deux tangentes fixes, est de grandeur constante, quelle que soit cette tangente.

CHAP. X. — FOYERS DES SECTIONS CONIQUES. 191 CoBOLLÀiRE. — Si la conique est une parabole, cet angle constant est égal au supplément de l'angle des deux tangentes, parce qu'il existe une tangente à Tinfini dont la partie comprise entre les deux tangentes fiies est vue du foyer sous cet angle supplémentaire (*).

294. Regardons les deux foyers comme deux sommets opposés d'un quadnlatere circonscnf a la conique. Les deux points k Tinfini sur un cercle seront, d'après ce qui vient d'élre démontré (292), les deux autres sommets opposés, ou bien les deux points de concours des côtés opposés. Considérons-les comme étant les deux points de concours des côtés opposés. Alors la seconde diagonale du quadrilatère sera le petit axe de la conique, qui est la polaire du point d'intersection du grand axe, ou première diagonale, par la droite, à Tinfini, qui joint les deux points de concours. Les deux autres sommets opposés du quadrilatère circonscrit seront donc deux points imaginaires situés sur le petit axe.

Ainsi, Ton peut dire que :

Les foyers d'aune conique sont les deux sommets réels flu quadrilatère imaginaire circonscrit à la courbe, et Jont les points de concours des côtés opposés sont les ^eux points imaginaires situés à V infini sur un cercle.

295. Cette propriété àes foyers pourrait servir de définitioD de ces points.

Sans doute, on ne saurait recommander ce choix dans une théorie des sections coniques bien ordonnée. Néanmoins la propriété est féconde et procure des démonstrations faciles de certaines questions, principalement dans la théorie des coniques homofocales, comme nous le

C^) Ces théorèmes ont été démontres par d'autres cunsidéra lions dans le Traité des Propriélés projeclives de M. Poncelet. {Voir p. 267, 2G8.)

verrons (*). Nous allons donner dès ce moment un exemple

des usages que Ton peut faire de cette notion..

Rappelons d'abord que les deux points imaginaires à IHn-fini sur un cercle, sont coiijugués harmoniques par rapport aux deux points où deux droites recungulaires quelconques HMiconlrcnt la droite située à TinEni. Cela est évident, puisque les deux points du cercle, à Tinfini, sont les points do contact des asymptotes du cercle, lesquelles sont les rayons doubles de Finvolution formée par les couples de diamètres recungulaires (lH).

Réciproquement, quaud les deux points de rencontre do deux droites et de la droite située à l'infini sont conjugués harmoniques par rapport aux deux points du cercle, situés à l'infini, ces droites sont rectangulaires.

296. Cela posé : Si d'un point on mène deux tangentes à une conique et les bissectnces de leurs angles^ ces bissectrices seront les mêmes que celles des angles des deux droites menées du point auxjoyers,

Eln effet* les deux tangentes à la conique^ les deux droites menées aux foyers^ et les deux menées du même point aux l^oiuts do concours dos côtés opposés du quadrilatère cirix>nscrit qui a pour sommets les deux foyers^ forment trois »x>uplos do droites on invotution (27). Les deux rayons

/"^ En d«lK>r^do I* Uiei>rto des oAniquw, eett« noUoa d'an point appeltsig^ ,t<^>rr« d'oà lartttnt denx Un^entes imaginaires d'ane conibe, qui sont Je^^ «»rin|i«cl<« d'an <vv>rlr. a TaTanUj^^ de s'appliqner amx ooailies d'an ordi — ^^^ qaelconqae. La cMK>(t^Uon en est dae an savant géonMtre et pkfsiden <^^^ Benn^ M. Dw^er, qui U dérivait directement de Teqaation

des dea\ dtxHKft ima^nairets dent il s'^t. Teir : Té^r tcJekf Pmmcte, ^g

Vk Ciir>(«r)i rincr hr^nn On^wi^ ^ît Àcr sm*eyiUiin, •ârm Brrm^mmeUn ^^ K<yr>îwkw,w /iWjffirwW^ Jitkfn4ii df M^t^urmetf^mts de Cf«lle, t« X

CHAP. X.— FOYERS DES SECTIONS CONIQUES. igS doubles de rinvolution sont deux droites coiijuf^ées harmoniques par rapport aux deux droites de chacun des trois couples. Ces deux droites diviseront donc harmoniquement la droite qui joint les points de concours des côtés opposés du quadrilatère : elles sont donc rectangulaires. Or deux droites rectangulaires, conjuguées harmoniques par rapport à deux autres, sont nécessairement les bissectrices des angles formés par celles-ci (G. aS., 80). Le théorème est donc démontré.

un angle de grandeur constante, parce qu'elles seront parallèles aux deux Fa, Fa'. Donc le point autx)ur duquel tournent ces droites est un foyer de la nouvelle conique (293) (*).

Observation. — Le plan de la figure étant donné de position dans l'espace, on peut prendre arbitrairement le plan sur lequel on veut faire la perspective de la conique C, de manière que le point donné F devienne le foyer de la nouvelle courbe.

Car il suffira que la droite L soit parallèle à la trace de ce plan sur celui de la conique.

Conséquences du problème précédent.

298. Le point F étant donné, on pourra prendre la droite L, de manière à satisfaire à diverses conditions.

La conique en perspective sera une ellipse, une parabole ou une hyperbole, selon que cette droite sera extérieure à la conique proposée, ou tangente, ou sécante.

1° Si Ton veut que la conique devienne en perspective un cercle, ayant pour centre la perspective du point F, on prendra pour la droite L, la polaire du point F. .Car alors la perspective de ce point sera tout à la fois le foyer et le centre de la nouvelle conique, et par conséquent cette courbe sera un cercle.

a° Si Ton veut que le point F devenant le foyer de la nouvelle conique, un point G en devienne le centre, on prendra pour la droite L la polaire du point G.

3° Si l'on veut que le point F devenant toujours le foyer de la nouvelle courbe, celle-ci soit une parabole dont

{*) Les deux points P, P', dans cette seconde solution, sont les mêmes que dans la première. Car ces points dépendent uniquement des points doubles des deux divisions homographiqucs que Ton considère sur la droite L (G. S., I7i) : etces points doubles sont les mêmes dans les deux cas, parce qu'ils appartiennent aux deux tangentes de la conique donnée, qui partent du point F.

CBAP. XI. — CONIQUE HOMOLOGIQUE. PROBL. 197 le sommet corresponde à un point A de la conique proposée, on mènera la droite FA, qui rencontre la conique en A', et Ton prendra pour la droite L la tangente en A'.

4® Si Ton veut que la conique devienne une hyperbole équilatère, on prendra pour L une droite rencontrant la conique proposée en deux points «, a situés sur deux droites conjuguées menées par le point F. Ces points a, a' donneront en perspective deux points situés à rinfiui, conséquemment sur les asymptotes de la nouvelle conique 5 ces asymptotes seront parallèles aux perspectives des deux droites F«, Fa', perspectives qui seront rectangulaires, puisque ces droites sont conjuguées. La nouvelle courbe sera donc une hyperbole équilatère.

5® Enfin,on demande de^hz/ï? /a ^er5y9ec//Ve de manière que deux points donnés F, F' dei^iennent les foyers de la nouvelle courbe.

Les deux points F, F' sont nécessairement intérieurs à la conique C. La droite FF' rencontre cette courbe en deux points A, A'. Soient G, G' les deux points qui divisent barmoniqnement les deux segments FF', A A', et dont l'un, G, est intérieur à la conique. Il suffit de faire la perspective de manière que l'un des deux points donnés F, F', devienne un foyer de la nouvelle conique, et que le point G en devienne le centre (2°). Le problème sera résolu.

On résoi^ra avec la même facilité plusieurs questions relatives encore aux foyers, mais concernant deux coniques, au lieu d'une seule. Ces questions se présenteront plus tard, quand nous aurons traité de diverses propriétés du système de deux coniques (Chap. XV, § IV).

§ n. — Conique homologique,

299, Étant donnés une conique C, une droite L et Un point F, on demande de construire une conique homolo^ gique dans laquelle le point homologue à F soit un foyer

igS TRAITÉ DES SECTIONS œNIQUES.

de la courbe^ et la droite homologue à L soit à F infini. Il suffit de prendre pour centre d'homologie S (fig^ iolo) un des deux points P, P' déterminés ci-dessus (297) \ et sur le rayon Sw mené à un point de C, un point m' déterminé par

mp

mp étant la distance du point m à la droite L. Le lieu du point m' sera une conique liomologique à la proposée (269) 5 et le point F' pris sur SF, à la distance

Fq

F q étant la distance du point F à la droite L, sera le foyer de la nouvelle conique.

En effet, à deux droites conjuguées Fa, Fa, dans la conique proposée correspondront deux droites conjuguées dans la nouvelle conique (266, VI)*, et celles-ci seront rectangulaires. Car elles rencontreront la droite à Tinfini, correspondante à L, en deux points situés sur les rayons Sa, Sai, a, «1 étant les points où Fa, Fa, rencontrent L-, c'est-àdire qu'elles seront parallèles à Sa, Sa,, et conséquemment rectangulaires. Ce qui prouve que le point F' «st le foyer de la courbe (276).

On verra sans difficulté comment cette construction d'une conique homologique s'appliquera aux différentes questions dans lesquelles on a fait ci-dessus (298) la perspective d'une conique.

Du reste, on ramène, si I'oîj veut, la construction d'une conique homologique à celle d'une conique en perspective avec la conique proposée, par cette simple considération, que deux figures homologiques se placent en perspective, si l'on fait tourner le plan de l'une autour de l'axe d'homologie. (G. S., 369.)

CHAP. XL — CONIQUE HOMOLOGIQUE. PROBL. 197 le sommet corresponde à un point A de la conique proposée, on mènera la droite FA, qui rencontre la conique en A', et Ton prendra pour la droite L la tangente en A'. 4® Si Ton veut que la conique devienne une hyperbole équilatère, on prendra pour L une droite rencontrant la conique proposée en deux points «, a situés sur deux droites conjuguées menées par le point F. Ces points a, iJ donneront en perspective deux points situés à riiifiui, conséquemment sur les asymptotes de la nouvelle conique; ces asymptotes seront parallèles aux perspectives des deux droites Fa, Fa', perspectives qui seront rectangulaires, puisque ces droites sont conjuguées. La nouvelle courbe «era donc une hyperbole équilatère.

5® Enfin,on demande de^h/rc /a ^er5y9ec//Ve rfc; manière que deux points donnés F, F' dei^iennent les foyers de la Nouvelle courbe.

Les deux points F, F' sont nécessairement intérieurs à la Conique C. La droite FF' rencontre cette courbe en deux points A, A'. Soient G, G' les deux points qui divisent harmonjquement les deux segments FF', AA', et dont l'un, G, est intérieur à la conique. Il suffit de faire la perspective de manière que l'un des deux points donnés F, I^', devienne un foyer de la nouvelle conique, et que le point G en devienne le centre (2°) . Le problème sera résolu. On résoi^ra avec la même facilité plusieurs questions l'clatives encore aux foyers, mais concernant deux coniques, Julien d'une seule. Ces questions se présenteront plus tard, cjuand nous aurons traité de diverses propriétés du système de deux coniques (Chap. XV, § IV).

§ n. — Conique homologique,

299. Etant donnés une conique C, une droite L et iin ^oint F, on demande de construire une conique homolo- ^yque dans laquelle le point homologue h F soit un foyer

ki

De CCS deux équations on conclut

Kol.Kol' Ag.A6^ Ba.Ba' ^ B6.B6''

équation d'învolution entre les trois couples de points A, B; a, û/ et 6, 6'. Donc, etc.

301 . Si la transversale est tangente aux deux coniques, les deux segments ac^^ bb' se réduiront aux points de contact, qui seront les points doubles de Tinvolution 5 c'est-àdire que ces deux points diviseront harmoniquement chacun des deux segments c</, dd\ Donc :

Quand deux coniques sont circonscrites à un quadrilatère, si on leur mène une tangente commune, les points de contact sont conjugués harmoniques par rapport aujC deux points de section de la transv^ersale par deux côtés opposés du quadrilatère.

302. Quand trois coniques sont circonscrites à un quadrilatère, toute transversale les rencontre en six points qui sont en involution.

En effet, soient aa'^ bV , ce' les segments formés sur la transversale par les trois coniques, et dd'^ ee' les segments formés par les deux systèmes de côtés opposés. Ces deux segments déterminent une iuvolution à laquelle appartient chacun des trois segments aa', bb\ cd , d'après le théorème de Desargues (20). Donc ces trois segments forment euxmêmes une involution (G. «S., 196). Donc, etc. (*).

303. De là dérive la solution de cette question : Étant données deux sections coniques, mener par un

point une troisième conique qui passe par les quatre points d'intersection des deux premières.

{*) C'est à M. Sturm qu'est dû ce théorème important, qu'il a démontre dans les Annales de Mathématiques de M. Gergonne, t. XVIÏ, p. i8oj année 1856-37.

CH. XII. -CONIQUES CIRCONSCRITES A UN QUADRIL. 201 Par le point donné P on mènera arbitrairement une transversale qui rencontrera les deux courbes en des points a, cl et 6, V • On prendra sur la transversale le point P' qui forme avec les cinq a, a', i, è' et P une învolution ; ce point appartiendra à la conique demandée.

On construira ainsi cette courbe par points.

Corollaire. — Si le point P est situé sur une corde commune aux deux coniques données, il est clair que le lieu des points P' sera une droite qui avec la corde commune formera la conique demandée; et cette droite sera une seconde corde commune aux deux coniques. De sorte qu'on peut dire que : Quand on connaît une corde com^ mime à deux coniques ^ on en détermine immédiatement une seconde.