D'où résulte la solution de ce problème

Etant données deux coniques et une droite, décrire une troisième conique qui passe par les points d'intersection ^s deux premières et soit tangente à la droite.

Il y a deux solutions.

§11. — Faisceau de coniques circonscrites à un quadrilatère.

306. Quand plusieurs coniques ont quatre points commuas (réels ou imaginaires), les segments qu'elles interceptent sur une transversale quelconque sont en involulion (302). Conséquemment il existe deux points (réels ou imaginaires) qui divisent harmoniquement chacun des

2oa TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES.

segments (G. S., 205). Ces points sont conjugués par rapport à chaque conique (103). I>on€ :

Quand plusieurs coniques ont quatre points communs, il existe sur une trans\^ersalc quelconque deux points (réels ou imaginaires) conjugués par rapport à toutes les coniques.

307. Si la transversale est située à Tinfini, les <leax points conjugués communs à toutes les eoniques seront les extrémités de deux diamètres conjugués de chacune d'elles (168). Donc :

Toutes les coniques qui passent par quatre points ont un système de diamètres conjugués parallèles entre eux, lequel système peut être imaginaire.

Si Tune des coniques est une ellipse, les diamètres conjugués parallèles sont réels : car le segment intercepté par l'ellipse sur la droite à Tinfîni est imaginaire, et dès lors, quel que soit le segment formé par une autre courbe, les deux points conjugués harmoniques par rapport aux deux segments seront réels (G. -5., 77). Mais si deux des coniques sont des hyperboles, ces deux points, et conséquemment les diamètres conjugués parallèles, pourront être imaginaires^ ce qui aura lieu si les deux segments empiètent l'un sur l'autre (G. S., 210).

On peut substituer à la considération de ces segments celle de deux angles ayant le même sommet et les côtés parallèles aux asymptotes des deux hyperboles. Alors on dira que les diamètres conjugués parallèles seront réels ou imaginaires, selon que les deux angles n'empiéteront pas ou empiéteront l'un sur l'autre. Au lieu de ces angles formés par des parallèles aux asymptotes de deux hyperboles, on peut considérer les angles formés par des parallèles aux couples de côtés opposés du quadrilatère inscrit aux coniques, et vérifter si ces angles empiètent ou n'empiètent

CH.XU.— CONIQUES aRCONSCRITES A UN QUADRIL. 2o3 pis l'un sur Tantre. On reconnaît sans diflicuUc que, dans le premier cas, le quadrilatère a un angle rentrant, et que, dans le second cas, il a ses quatre angles saillants.

U résulte de là que par quatre points formant un quadrilatère à angle rentrant on ne peut faire passer ni une dlipse ni une parabole.

308. Quand plusieurs coniques ont quatre points communs (réels ou imaginaires), les polaires d'un autre point quelconque, relatives à ces cowbeSy passent toutes par un même point.

Soit P le point dout on prend les polaires, et P'ie point f intersection des polaires relatives à deux des coniques, A, B. Je dis que la polaire relative à une troisième C passe par ce point P'. En eflet, les deux points P, P' sont conjugués par rapport aux deux coniques A, B (103), et conséquemment par rapport à la troisième C (306). Donc le point P' appartient à la polaire du point P relative à la conique C. c. q. f. d. (*)

Ce théorème s^applique à chaque système de deux droites passant par les quatre points d'intersection des deux coniques proposées, parce que Tenscmblede ces deux droites peut être considéré comme une conique passant par les points d'intersection des autres courbes.

Corollaire. — Si le point P est à l'infini, sur une droite L, ses polaires seront les diamètres des courbes, conjugués à la direction de cette droite. Donc :

Quand plusieurs coniques sont circonscrites à un quadrilatère, les diamètres de ces courbes, conjugués à une "ï^me droite, passent tous par un même point.