Quand plusieurs coniques sont circonscrites à un

\) Ce tbéorème, bien connu, a été démontré en premier lieu par ■• Lamé, dans son ouvragée intitulé : Examen des diJférenCes méthodes em~ V^oyées pour résoudre les problèmes de Ccométric. Paris, 1818, in-8.

2o4 TRAITÉ DES SECTIONS œNIQUES.

quadrilatère y si un point P glisse sur une droite L, le point de concours P' des polaires de ce points relatii^es à toutes les coniques (308), décrit une conique^

Cette courbe est aussi le lieu des pôles de la droite L relatifs à toutes les coniques ;

Elle passe par le point de rencontre des deux diagonales du quadrilatère et par les points de concours des côtés opposés.

Il suffit de considérer deux des coniques A^ B, puisque les polaires d'un point, relatives à toutes ces courbes, passent toutes par un même point.

Or, les polaires des différents points de la droite L relatives aux deux coniques A, B, polaires qui passeront respectivement par les pôles de cette droite, formeront deux faisceaux homographiques, parce que le rapport anharmonique des polaires de quatre points, dans chaque conique, sera le même, étant égal à celui des quatre points (117). Donc les polaires correspondantes dans les deux faisceaux se couperont sur une conique 2 qui passe par les pôles de la droite L relatifs aux deux coniques A, B, et, par conséquent, par les pôles de cette droite dans toutes les coniques.

Cette conique passe par le point de rencontre des deux diagonales du quadrilatère. Car ce point est, dans toutes les coniques, le pôle de la droite qui joint les points de concours des côtés opposés. Or les polaires du point de rencontre de L et de cette droite passent toutes par ce pôle, qui se trouve dès lors sur la conique 2.

Le théorème est donc démontré (*).

Corollaire. — Si la droite L est à Tinfini, on en conclut

( *) M. Poncelet a démontré le théorème par d'autres considérations, pour un système de cercles qui ont une sécante commune, et l'a étendu ensuite, par voie de perspective, à. un système de coniques ayant quatre points communs (réels ou imaginaires). Voir Traité des Propriétés projectives, pages /jf) el io8.

CH. XII. — CONIQUES INSCRITES DANS UN QUADRIL. ao5 que : Toutes les coniques qui passent par quatre points donnés [réels ou imaginaires)^ ont leurs centres sur une conique,

310. La conique 2^ lieu des centres de toutes les coniques qui passent pai' quatre points A, B, C, D, passe par le milieu de chaque côté ou diagonale du quadrilatère qui a pour sommets ces quatre points.

En effet, parles iroîs points A, B, C on peut faire passer une conique dont le centre soit au milieu de AD : elle passera par le quatrième point D. Donc le milieu de AD est un point de la conique S.

3H. Le centre de la courbe Z est le point de croisement des droites qui joignent les points milieux des côtés opposés du quadrilatère.

Cela résulte de ce que la conique passe par les six points milieux.

Coniques inscrites dans un quadrilatère.

312. Aux théorèmes démontrés dans les deux paragraphes précédents, concernant des coniques circonscrites à un quadrilatère, correspondent des théorèmes relatifs à des coniques inscrites dans un quadrilatère. Comme les démonstrations sont tout à fait semblables à celles qui précèdent, aous énoncerons simplement ces nouveaux théorèmes dans les deux paragraphes suivants.

S ni. — Propriétés de deux et de trois coniques inscrites dans un quadrilatère,

313. Quand deux coniques sont insentes dans un quaàrilatère, si d'un point quelconque on mène des tangentes oux deux courbes et deux droites aboutissant à deu,r sommets opposés du quadrilatère, ces trois couples de ^f^Ues sont en immolation.

Les tangentes à chacune des deux coniques peuvent être

2o6 TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES,

imaginaires, de même que dans le théorème (27) relatif à une seule conique inscrite dans un quadrilatère. Les relations d'involution ont toujours lieu entre les trois couples de droites.

314. Si le point par lequel on mène les tangentes aux deux coniques est un de leurs points d'intersection, les deux tangentes à chaque courbe se confondront en une seule, qui sera l'un des rayons doubles de Tinvolution. Il s'ensuit que :

Quand deux coniques sont inscrites dans un efuadrilatère, les tangentes en un de leurs points d* intersection fojment un Jaisceau harmonique oa^c les deux droites menées de ce point à deux sommets opposés du quadrilut ère.

On peut encore dire que : Les tangentes aux deux co* niques en un de leurs points d^ intersection , div^isent harmoniquement chacune des diagonales du quadrilatère circonscrit.

315. Quand trois coniques sont inscrites dans un quadrilatère, les tangentes menées d*un point à ces trois courbes forment trois couples de droites en immolation,

316. De ce théorème résulte la solution du problème suivant :

Étant données deux coniques et une droite, décrire une troisième conique qui soit inscrite dans le quadrilatère circonscrit aux deux proposées, et tangente à la droite.

Par chaque point de la droite on mènera des tangentes aux deux coniques et une droite faisant avec la droite donnée un troisième couple en involution avec les deux couples de tangentes. Cette droite sera tangente à laconique demandée.