De là résulte la solution de ce problème

Étant donnés deux coniques et un point, décrire une conique qui soit inscrite dans le quadrilatère circonscrit aux deux proposées, et qui passe par le point donné.

Que par ce point on mène les tangentes aux deux coiiiques : chacun des rayons doubles de Tinvolution déler- Hilnée par ces deux couples de droites sera une tangente à Une conique satisfaisant à la question, qui admet donc deux solutions.

321 . Quand trois coniques sont inscrites dans un quadlrilatère, les tangentes menées à deux de ces courbes par 14/» de leurs points d^ intersection , sont conjuguées har- ^no niques par rapport aux deux tangentes menées du ^nême point à la troisième conique.

Conséquence de la relation d'involution exprimée par le Théorème (315).

2o8 TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES.

§ IV. — Système de coniques inscrites dans un quadrilatère,

322. Quand plusieurs coniques sont inscrites dans un quadrilatère (réel ou imaginaire), les couples de tangentes à ces courbes, menées d^un même point, sont en involution (315). Il s'ensuhqaepar chaque point on peut mener deux droites (réelles ou imaginaires) conjuguées par rap^ porl à toutes les coniques. Ces droites sont les rayons doubles de Tinvolution.

323. Quand plusieurs coniques sont inscrites dans le même quadrilatère, les pôles d'une droite quelconque sont situés en ligne droite.

Ce théorème s'applique aux diagonales du quadrilatère, ainsi qu'à la droite qui joint les points de concours des côtés opposés, considérées comme trois coniques infiniment aplaties inscrites dans le quadrilatère (32).

Corollaire. — Si la droite dont on prend les pôles est à l'infini, on en conclut que :

Toutes les coniques inscrites dans un quadrilatère ont leurs centres sur une même droite.

Ce théorème a été démontré par Newton dans le premier livre des Principes de la Philosophie naturelle (Lemme XXV, Coroll. III).

324. Quand plusieurs coniques sont inscrites dans un quadrilatère, si autour d'un point fixe on fait tourner une transi^ersale, la droite lieu des pôles de cette transiter' sale (323) enveloppe une conique;

Cette courbe est aussi t enveloppe de toutes les polaires du point fixe relativ^es aux coniques proposées;

Elle est tangente aux deux diagonales et à la droite qui joint les points de concours des côtés opposés du quadrilatère circonscrit aux coniques (*).

^*) Ce théorème et le précédent se trouvent, comme conséquences des

CHAP. XII. — phopriiî:tés D'INVOLUTFON.

^ V. — Rapport anhnnnonUpœ de quatre coniques circonscrites ou inscrites à un quadrilatère,

323. Quand quatre coniques passent toutes par quatre points {réels ou imaginaires)^ les polaires d'un point P [gui concourent en un même point P' (3()8)J, ont un rapport anharmonique constant y quel que soit le point P.

En effet, les polaires d'un autre point Q roncourent aussi en un point Q', et rencontrent, respeclivement, les premières en; quatre points qui sont les pôles de la droite PQ relatifs aux quatre coniques. Mais ces pôles sont sur une conique à laquelle appartiennent aussi les points P\ (^': cette conique est le lieu du point de rencontre des polaires d^ un point qui décrirait la droite PQ (309). Donc les quatre droites issues du point P' ont leur rapport anharmonique é^al h celui des quatre droites issues du point Q' (-4). • c. Q. F. D.

Corollaire. — Il suit de là que : Si par l'un des points d^ intersection des quatre coniques on leur mène des tangentes^ le rapport anhannonique des quatre tangentes sera ie même pour chacun des quatre points d'intersection des coniques.

Observation. — Nous aurons à employer souvent dans la-^nite ce rapport constant, relatif à quatre coniques cir- <'onscriles à un quadrilatère-, nous l'appellerons rapport enharmonique des quatre coniques ^ comme nous l'avons ^éjà fait dans quelques recherches précédentes (*). Il existe plusieurs autres propriétés des quati*e coni([ues, qui donïïenilieuàun rapport anharmonique, soit de quatre points.

théorèmes ( 308 et 309), en vertu de la théorie des polaires réciproques, dans ^^ Traité des Propriétés projet tives, p. 220.

(*) Voir Comptes re*idus des séances de l'Académie des Sciences, t. XXXVII, P ^7»; année 1853.