CHAPITRE XIII

DES CORDES COMMUNES A DEUX CONIQUES. - SYSTÈME DE TROIS POINTS CONJUGUÉS COMÎilUNS AUX DEUX COURBES.

§ I. — ^ Corrles communes a deiiT coniques,

327. Nous appellerons cor rie commune à deux coniques tome droile dont les points d'inierseclion (réels ou imaginaires) avec Tune et avecTaulre conique sont les mêmes.

Quand une droite est une corde commune à deux coniques, les polaires de chaque point de cette droite se rencontrent sur la droite même : cri d'autres termes, les deux coniques ont les mêmes systèmes de deux points conjugués '"^ur cette droite.

Eq effet, les polaires d'un point P de la corde commune passent par le point P' conjuiçué harmonique de P par rapport aux deux points (réels ou imaginaires) communs aux deux coniques sur cette droite (103).

Réciprocjuement : Si^ dans le plan de deux coniques^ il fixiste une droite dont deux points soient tels, que les polaires de chacun se coupent sur cette droite même, cette droite est une corde commune aux deux coniques.

En effet, soient P, Q deux points de la droite^ P' le point de rencontre des polaires du point P; et Q' le point de rencontre des polaires du point Q. Les deux points P, P'sont conjugués par rapport à chacune des deux coniques, ainsi que les deux points Q, Q'. Donc les points de chacune des deux coniques situés sur la droite sont les deux points (réels ou imaginaires) qui divisent harmoniquement les deux segments PP', QQ'. Donc la droile est une corde

ai2 TRAITÉ D?:S SECTIONS CONIQUES.

(ommiino : par suite, les polaires de chacun de ses points

se rencontrent sur la droite même.

A raison de cette propriété des cordes communes à deux coniques, c'est-à-dire de la coïncidence des deux points où les polaires de chaque point d'une corde rencontrent cette corde, nous leur donnerons aussi le nom S' axes de sym^^ ptôse que nous avons proposé, il y a longtemps (voir Annales de Mathématiques de M. Gergonne, t. X\ III, p. 285), et qui depuis a été employé par plusieurs géomètres. Ce n'est pas que le terme corde commune ne puisse suffire dans la théorie des coniques planes : mais il ne peut être transporté aux coniques sphériques, ni aux surfaces du second ordre; et c'est surtout en vue de ces courbes et de ces surfaces, pour conserver une nomenclature uniforme, que nous pourrons employer l'expression à! axes de symptose.

328. he point d'intersection de deux cordes communes à deux coniques a la même polaire dans les deux courbes.

Car les polaires de ce point dans les deux courbes se rencontrent tout à la fois sur les deux cordes (327), ce qui exige qu'elles se confondent.

Réciproquement : Quand un point a la même polaire dans deux coniques ^ ce point est l'intersection de deux cordes communes aux deux courbes, ou bien il représente une conique infiniment petite qui satisfait aux conditions d'une conique passant par les points d'intersection [alors imaginaires) des deux coniques proposées .

En effet, que par le point P, qui a la même polaire dans les deux coniques, on mène une transversale qui rencontre cette polaire en un point P', et les deux coniques en des points tf, a' et è, £'. Les deux points P, P' sont conjugués harmoniques par rapport à a et a', et à 6 et b\ Donc chacun d'eux forme une involulion avec les deux couples a, a' et b^ b^ [G. S,^ 194). Ce qui prouve que la transversale

CttAP. XIII.— CORDES COMMUJNES A DKUX COjNIQUES. 2i3 est tangente en P à la conique délermioée par ce poini cl les quatre points d'intersection des deux coniques proposées (303).

Toute autre transversale inmée par le point P sera dv même tangente à la conique, c'csl-à-dire qu'elle la rencontrera eu deux points qui se confondent en un seul. On en conclut que la conique qui passe par le point P et par les points d'intersection des deux proposées est ou Tensemble de deux droites, ou un simple point, qui représente une conique infiniment petite.

329. Nous avons vu que deux droites peuvent représenter une section conique, c'est-à-dire que leur ensemble possède certaines propriétés caractéristiques des sections coniques (31).

Il est aisé de concevoir qu'un point représente une conique infiniment petite, et de se faire une idée de ce que sont les points d'intersection (imaginaires) de cette conique et d'une droite arbitraire.

Soit une ellipse 2. Regardons- la comme le lieu des points d'intersection des rayons homologues de deux faisceaux homographiques ayant leurs sommets en deux points A, A', extrémités d'un diamètre de la courbe. Les points de section par une droite L sont les points doubles des deux divisions homographiques que les coi-des A/?/, A'm marquent sur cette droite (12).

Si l'on prend une ligne aa^ infiniment petite, parallèle à AA', et qu'autour des points r/, a' on fasse tourner deux droites parallèles aux deux cordes A//i, A'/?/, elles se coupeï^ntsur une conique homolhétique à 2 (*) ; et, à la limite, ^ù la ligne aa^ devient nulle, cette conique se réduit à ^n point. Des droites menées par ce point, parallèlement

(*)0n appelle figures homothi tiques deux li^wras scmhlahlcs n srmhlohlr- "ffni placées.

2i4 TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES.

aux couples de rayons homologuer A m, A! m forment deux faisceaux homographiques, et leurs traces sur ia droite L deux divisions homograpbîques, dont les points doubles sont les points d'intersection de la conique infiniment petite et de la transversale.

Ces points doubles sont sur les rayons doubles des deux faisceaux bomographiques, quelle que soit la droite L. Or les couples de rayons bomologues de ces deux faisceaux sont parallèles à des diamètres conjugués de la conique 2, de même que les cordes Aw, A! m (177) ; leurs rayons doubles sont donc imaginaires, puisque cette conique est une ellipse, par hypothèse. La droite L est donc coupée par la petite conique sur deux droites imaginaires. Ainsi l'on conclut quune conique infinhnent petite peut être considérée connue V ensemble de deux droites iniagijiaires qui n^ ont quun point réel (*).

Observation. — D'après cela, nous dirons, en nous reportant au théorème (328), que : Quand un point V a la même polaire dans deux coniques, ce point est toujours V intersection de deux cordes commujies, réelles ou imaginaires.

330. Si, par un point P qui a la même polaire dans deux coniques, on mène les tangentes aux deux courbes, ces couples de tangentes et les deux cordes communes [réelles ou imaginaires) qui passent par le point V^ forment une ini^olution.

En effet, les points de contact des quatre tangentes sont les points où la polaire du point P rencontre les deux co-

(*) Cela s'accorde avec les résultats de Tanalyse, où Ton dit qu'une équation telle que A* (x — a)' -f-B' (^ — 6)' = o représente un point dont les coordonnées sont «, 6, ou bien deux droites imaj^inaires ayant pour équa-

tions^ — 6— zt \^.r - «) 7T V - 1 .

CHAP.XUL— CORDES COMMUN ES A DEUX CONIQUES. ai5 niques; mais les deux cordes communes sont les deux côlés opposés d'un quadrilatère inscrit aux deux courbes ; les points où la polaire du point P les rencontre, forment doQc une involution avec les deux couples de points appartenant aux coniques (300). Donc, etc.

Corollaire. — On peut inscrire dans le quadrilatère circonscrit à deux coniques^ une troisième conique tangcnte à deux cordes communes aux proposées (315).

331. Quand deux coniques ont un point d'intersection réel y elles en ont nécessairement un second réel.

Car une branche de l'une des coniques pénètre dans l.autre courbe, et ne peut en sortir qu'en la rencontrant une seconde fois. C'est ce qu'on voit avec évidence si l'une des coniques est une courbe fermée, c'est-à-dire une ellipse ou un cercle. Et on peut toujours par une perspective rem- •placer les deux coniques proposées par deux autres dont l'une sera une ellipse.

332. Les deux coniqufes ayant deux points d'intersection, 'adroite qui joint ces points est une corde commune; conséquemment les coniques ont une autre coi de commune (303, Coroll,). Donc : Quand deux coniques ont un point ^^intersection réel^ elles ont deux cordes communes et y ^onséquemment, quatre points d'intersection dont deux 'éclsy et les deux autres réels ou imaginaires ,

333. I. — Quand deux coniques se coupent en quatre points réels, elles ont trois systèmes de deux cordes com- ^^unes.

Cela est évident.

II. — Quand elles se coupent en deux points réels, et ^'i deux points imaginaires^ elles nont quLun système de ^Gux cordes communes.

Cela est évident encore. Car si les deux coniques avaient ^cux systèmes de deux cordes communes, les droites d'un

2i6 TRAITÉ DES SKCTIONS COJNIQUKS.

système couperaienl celles de l'autre système en quatre points réels. qui apparliendraient aux deux coniques. Ces courbes se couperaient donc en plus de deux points réels :' ce qui est contraire à l'hypothèse.

334. Quajid deux coniques ont un point. de contact^ la langente en ce point est manifestement une corde commune; conséquemment les coniques ont une seconde corde commune, toujours réelle (303, Co/o//.), sur laquelle elles se coupent en deux points réels ou imaginaires.

Les coniques ont un second système de deux cordes communes, réelles ou imaginaires, qui partent du point de contact et passent par les deux points d'intersection.

§ IL — Système de trois points conjugués, clans deux coniques.

335. Etant dojinées deux coniques- quelconques , il existe, en général, trois points dont chacun a la même polaire dans les deux courbes. Un de ces points est toujours réei^ les deux auSres peuy^ent être imaginaires.

En effet, qu'on mène une droite quelconque L, et qu'on prenne les polaires de chacun de ses points; elles se coupent deux à deux en des points situés surfine conique 2 (309).

A une autre droite \J correspond une autre conique 2'. • Ces deux courbes ont un point commun connu à priori : c'est le point d'intersection des polaires du point de renconli'c des deux droites L, L'. Donc elles ont trois autres points comrfiuns, dont un est toujours réel, et les deux autres sont réels ou imaginaires (332).

Je dis que chacun de ces trois points a la même polaire dans les deux coniques proposées. En effet, l'un de ces points, P, considéré comme appartenant à la conique S, est rinlersccliondespolalres d'un certain pointQdeladroileL-,

CHAP. XIII.— CORDES COxMMUxNES A DEUX CONIQUES. 217 et réciproquement les polaires du point P passent par le point Q. Pareillement, le point P apparlrnaot à la conique 2', on en conclut que ses polaires passent par un même point Q' de la droite L'. Donc ers deux polaires ont deux points communs, et conséquemment se confondent. Donc, etc.

Le raisonnement ici ne s applique qu'au point d'intersection des deux courbes 2, 2' qui est réel : il laisse quelque chose à désirer, à Tégard des deux autres points supposés imaginaires, puisqu'on ne peut pas raisonner sur les polaires d*uu point imaginaire considéré isolément. Mais l'existence d'un point réel ayant la mcme polaire dans les deux courbes proposées, enlraine nécessairement l'existence des deux autres points, réels ou imaginaires. Car on voit sans difficulté que ces points sont les deux points conjugués (réels ou imaginaires), par rapport aux deiix coniques, sur la polaire commune. Ainsi le théorème est démontré avec toute la rigueur désirable.

Observation. — Remarquons qu'il résulte de là que, quand on connaît un des trois points, dont chacun a la même polaire dans les deux coniques, les deux autres s'ensuivent immédiatement sans qu*on ait besoin de construire les deux coniques 2, 2' qui servent à déterminer les trois points à la fois.

336. Quand deux coniques ont leurs quatre points d'inlersection réels, les trois points P, P', P', dont chacun a la Dième polaire dans les deux couibcs, sont réels : car ce sont les points de concours des couples de côtés opposés, et des diagonales du quadrilatère qui a pour sommets les quatre points communs aux deux coniques.

Mais, quand deux coniques nont que deux points d'inf^rsectioFi réels, un seul des trois points P, P', V" est réel, et '^^ deujc autres sont imaginaires.

2i8 TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES.

En effet, les deux coniques ont une corde commune qui joint les deux points d'intersection réels^ et une seconde corde commune (303, Coroll, ) sur laquelle sont deux points d'intersection imaginaires. Ces deux droites se coupent en un point P qui a la même polaire dans les deux coniques (328). Les deux autres points P', V" sont situés sur cette polaire (335, Obs.). Il faut prouver qu'ils sont imaginaires. Or le point P est nécessairement au dehors de chaque conique; sa polaire coupe donc les deux courbes; et il est évident que les deux segments interceptés sur cette droite par les deux courbes empiètent l'un sur l'autre; par suite, les deux points P', P'^ qui divisent harmoniquement ces deux segments sont imaginaires [G. S,^ 253 et 210),

337. Qi^and deux coniques nont aucun poiîit dHntersection rcel, les trois points P, P', P'^ sont réels.

Nous savons qu'un de ces points P est réel (335). Il faut prouver que les deux autres P', P'' le sont aussi.

Or ces points sont sur la polaire de P, et sont conjugués harmoniques par rapport aux deux segments que les coni- (|ues interceptent sur celte droite. Si l'un de ces segments, ou tous les deux, sont imaginaires, les deux points P', F' sont réels (G. 5., 77). Si les deux segments sont réels, ils n'empiètent pas l'un sur l'autre, parce que les deux coniques n'ayant aucun point d'intersection, sont nécessairement l'une intérieure, ou extérieure à l'autre; dès lors les deux points F, P'^ sont réels (G, S., 253 et 210).

Donc, etc.

338. Quand deux coniques ont un point de contact P, ce point a la même polaire dans les deux courbes : cette polaire est la tangente en ce point. Il n'existe alors qu'un autre point P' ayant aussi la même polaire dans les deux courbes. Ce point est siluc sur la tangente. On le déter-

CHAP. Xni.— œRDES COMMUNES A DEUX CONIQUES. 219 mine par celte considération, que les polaires des points de cette tangente, par rapport aux deux coniques, polaires qui passent par le point P, forment deux faisceaux homographiques, en vertu de la proposition (117). Ces faisceaux ont deox rayons doubles : Tun est la tangente en P, polaire de ce point P; l'autre a' évidemment le même pôle dans les deux coniques. Ce pôle, déterminé ainsi par le rayon double des deux faisceaux, est le point P' cherché. C'est par ce point \\ne passe la corde commune aux deux coniques, associée à la tangente en leur point de contact (334) .

§ III. — Réalité de deux cordes communes à deux coniques quelconques.

339. Deux coniques quelconques ont toujours un ou trois systèmes de deux cordes communes réelles.

Si les deux coniques ont leurs quatre points d*intersoclion réels, elles ont évidemment trois systèmes de deux cordes communes réelles. Quand elles n'ont que deux points d'intersection réels, elles ont toujours deux cordes communes réelles, comme il a été démontré (33î2) ; et elles ne peuvent en avoir deux autres.

Il reste à prouver que (juand les deux coniques n'ont aucun point d'intersection réel, elles ont néanmoins un sjlèine de deux cordes communes toujours réelles.

Dansle cas dont il s'agit, les trois points P, F, P' (Jlg» 121) soui réels (337). Ces points forment un système de trois points conjugués relativement à chacune des deux coniques -, conséquemment un de ces points est intérieur à une conique,' et les deux autres extérieurs (114). D'après cela, supposons le point P intérieur à la conique C, et P', P' extérieurs. l«s deux coniques n'ont aucun point d'intersection réel; ^e qui exige ([ue l'une d'elles enveloppe l'autre, ou bien qu'elles soient extérieures l'une à l'autre. Le raisonnement ^a s'appliquer à ces deux cas.