TKAITÉ DES SECTIONS CONIQUES

Le point P représente une conique infiniment petite, puisqu'il est intérieur à la conique C. L'un des deux autres, P', par exemple, représente aussi nécessairement une conique infiniment petite, car les deux coniques ne peuvent pas avoir deux systèmes de cordes communes réelles. H faut donc prouver que P et P' étant deux coniques infiniment petites, qui passent par les quatre points imaginaires des deux coniques proposées (328), P^ est l'intersection de deux cordes communes réelles de ces deux coniques, ou, ce qui revient au même, des deux coniques infiniment petites.

Disons donc, d'une manière générale, que : Deux coniques infiniment petites V^ V [fig» 121) ont toujours deux cordes communes réelles.

En effet le diamètre de la première, conjugué à la droite PP', rencontre le diamètre de la seconde conjugué à P'P en un point P'' qui a la même polaire PP' dans les deux ioniques.

Toute transversale menée par P" rencontre la première conique en deux points imaginaires, conjugués harmoniques par rapport à V" et au point /;'^ où cette droite rencontre PP'. La même transversale rencontre la seconde conique en deux autres points imaginaires conjugués harmoniques par rapport aux deux mêmes points P'', //'. Il faut donc prouver qu'il existe deux positions de la transversale V'p"^ pour lesquelles les deux points de la première conique se confondent avec les deux points de la seconde.

Or, si l'on prend le milieu des deux points de la première conique, le lieu de ce point milieu sera une ellipse passant parlepointP'^ (209, Coro//.), tangente enPà la droite PP', rt dont la tangcnlc en P'' est parallèle à cette droite (*).

(*) l/ellipsc est tan{;eiitc en P à la droite PP', parce qu elle ne' peut pat avoir un autre point sur cette droite, puisque chaque point ^" de PP' est h « oiijngué harmonique de P par rapport aux deux points de la conique infi-

CHAP. XIII.— CORDES COMMUNKS A DEUX COJNIQLES. 211 De même pour la conique P'. Ou aura donc deux ellipses tangenles k la droite PP', et ayant une tangente commune en F'. Ces deux ellipses pénètrent nécessairement Tune dansTautre, el ont, par conséquent^ au moins un autre point commune. Mais, étant tangenles en P', elles ont une corde commune autre que la tangente en ce poii^t (334). Cette corde passe par le point e^ et rencontre donc les deux courbes en un second point commun e'. Les deux droites P^e, Ve' sont deux cordes communes des deux coniques infiniment petites 5 c'est-à-dire que chacune d'elles rencontre ces coniques aux deux mêmes points. Effectivement, les deux points de chaque conique situés sur la droite We^ par exemple, ont leur milieu en e, et sont conjugués harmoniques par rapport à deux points P', p". Ce qui suffit pour les déterminer. Donc, etc.

Démonstration analytique, — En éliminant x entre les équations des deux coniques, on obtient une équation en y du quatrième degré. Ses quatre racines sont, par hypothèse, imaginaires, et conjuguées deux à doux, de la forme

A chaque ordonnée/' ou y" correspondent dans chaque courbe deux abscisses, dont Tune répond au point d'intersection des deux courbes. Pour déterminer cette abscisse commune aux deux courbes, il suffît de tirer des doux équations de ces courbes une

Qiment petite situés sur P*;»", et no pool être le milieu de ces deux points <Ioe8*ils se confondent; ce qui n'arrive qu'en P.

En outre, la tangente à l'ellipse, en P", est parallèle à PP'. Car la conique înCniment petite P peut être regardée commoi l'ensemble de deux droites imaginaires par rapport auxquelles les deux droites PP*, PP' sont conjuguées harmoniques. Par conséquent la parallèle à PP', menée par P", rencontre ces deui droites en deux points dont le milieu coïncide en P". Cette parallèle «UoncU tangente à l'ellipse.

222 TRAITÉ DES SECTIONS œNIQUES.

équation où x n'entre qu'au premier degré. Soit

Bj*H-CxrH- Ex-f-Fj-l-/ = o

cette équation. On en conclut immédiatement Tabscisse a/ qa correspond à la valeur de j' ; soit

Pour Tabscisse correspondante à l'ordonnée j", il suffit de change le signe de v' — M de sorte qu'elle est

La droite menée par les deux points d'intersection a pour équatioi

qui devient

bx — b\= ba' — b'a :

équation d'une droite réelle qui passe par deux des quatre point d'intersection imaginaires des deux coniques. Les deux autre points sont pareillement sur une autre droite réelle. Ainsi lethéc rème est démontré.

340. On conclut des cousidératioos précédentes le résum suivant* relatif au quadrilatère inscrit à deux coniques.

Le quadrilatère a toujours deux côtés réels. Les dea autres côtés peuvent être imaginaires: ainsi que les den diagonales. La droite qui joint le point de concours de c« deux autres côtés, réels ou imaginaires, au point de concou des deux diagonales, est toujours réelle. Mais ces de« points de concours peuvent être réels ou imaginaires. I sont réels, quand les deux coniques ne se coupent pas; imaginaires, quand les deux coniques se coupent en dei points.

Lorsque les coniques se coupent en quatre points, toat les parties du quadrilatère si'ïnt réelles.

CHAP. Xm.— CORDES COMMUNES A DEUX CONIQUES. 223

§ IV^ — ConstiiÀCtion des cordes communes.

341. Étant données deux coniques, construire leurs cordes communes,

\^ On cherche les trois points conjugués communs aux deux coniques : il suffit de décrire deux autres coniques qui ont un point commun connu à priori, cl dont les trois autres points d'intersection sont les points cherchés (338). a® Si un seul de ces trois points, P'' par exemple, est réel, les deux cordes communes aux deux coniques passent par ce point, et on les détermine ainsi : on prend les polaires d'un point O quelconque, lesquelles se coupent enO'î pwïs les polaires d'un autre point fî, lesquelles se coupent en fi'. LespolairesJcs points O el ft, relatives à la conique représentée par les deux droites cherchées, passent par C et ft', respectivement (308); conséqucmment les deux droites cherchées divisent harmoniquement les deux angles OP'^O', flF'fi'.

3® Si les trois points conjugues communs aux deux coniques sont réels, on détermine pour chacun d'eux les deux cordes communes qui ont leur intersection en ce point. Ces trois systèmes de deux cordes communes aux deux coniques seront réels quand les deux courbes auront leurs quatre points d'intersection réels ; et un seul sera réel quand deux points d'intersection seulement seront réels.

Remarque, — La construction des points d'intersection de deux coniques, question qui admet quatre solutions (réelles ou imaginaires), se ramène donc à la recherche des points d'intersection de deux coniques qui ont un point commun connu \ question qui admet trois solutions.

Ces considérations géométriques s'accordent avec l'Analyse qui apprend à ramener la résolution des équations du quatrième degré à celle des équations du troisième degré, suivie de la résolution d'équations du second degré.

Cas particuliers et conséquences du problème.

342. I. — Lune des deux coniques données est infini ment petite y ou, en d'' antres termes, est F ensemble de detia droites imaginaires (329).

On suppose que les systèmes de diamètres conjugués de h conique infiniment petite sont donnés; ce sont des droitej parallèles aux diamètres conjugués d'une conique homo ihétique à la conique infiniment petite, ou bien des droites conjuguées harmoniques par rapport aux deux droites imaginaires qui représentent la conique infiniment petite.

Soit P la conique infiniment petite, ou le point d'intersection de ces deux droites. Ce point est un des trois don chacun a la même polaire dans les deux coniques proposées Les deux autres P', P'^ sont sur la polaire de P, et on les détermine comme on Ta vu ci-dessus (33o, Obs,).

Les deux cordes communes cherchées passent par un Ai ces points P', P"*, on les construira comme il vient d'être dit (341, 3°).

Observation. — Ce problème revient, sous un énonça différent, à celui-ci : Étant données les deux diagonale imaginaires d^un quadrilatère inscrit dans une conique déterminer les points de concours des côtés opposés, et la deux côtés réels.

L'existence de ces deux côtés réels, démontrée par ce q* précède, avait été annoncée dans l'article (129).

II. — Le point de rencontre P des deux droites ima^ n aires données, est situé sur la conique.

Les cordes communes à la conique et aux deux dro^ imaginaires, qui représentent une conique infiniment j lite P, connue d'espèce, sont la tangente en ce poin^E , et une autre droite sur laquelle se trouvent les deux joints imaginaires^ intersection de la conique et des deux droites imaginaires données.

CHAP. XIII. — CORDES COMM. A DEUX CONIQUES. 2!>.5 On construit sur la tangente en P le point P' qui a la même polaire dans les deux coniques, et par lequel passe la corde commune cherchée (338). Pour obtenir ensuite la direction de cette droite, il suflit de prendre les polaires d'un point quelconque Q relatives aux deux coniques : ces polaires se rencontrent en un point Q'. par lequel passe aussi la polaire du point Q relative au système formé de la tangente P'P et de la droite cherchée (308). Conséquemment celte dernière droite est conjuguée harmonique de la tangente P'P par rapport aux deux droites P'Q, P'Q', et se trouve ainsi déterminée.

m. — Les deux coniques données sont, Vune et Vautre^ Vensemble de deux droites imaginaires.

On peut dire aussi, comme dans la question précédente, que les points d'intersection des deux systèmes de droites imaginaires représentent deux coniques infiniment petites connues d'espèce.

Soient P, P' les deux points, ou les deux coniques. Les diamètres conjugués du diamètre PP' commun aux deux coniques se croisent eu un point V" qui a la même polaire dans les deux courbes, savoir la droite PP', Par conséquent les deux cordes communes cherchées passent par ce point P^.

La construction de ces droites rentre dans le cas général (341, 2°).

Observation. — Puisque chacune des deux coniques P, P représente l'ensemble de deux droites imaginaires, la question revient à celle-ci :

Etant donnés les couples de côtés opposés^ imaginaires d^un quadrilatère, trouver les diagonales.

Ces diagonales sont toujours réelles, puisqu'elles seront les cordes communes des deux coniques infiniment petites • représentées par les deux couples de côtés imaginaires.

343. Mener par un point Q une conique qui ait pour cordes communes ai^ec une conique donnée C, deux droites D, jy (réelles ou imaginaires).

Cet énoncé n'est qu'un cas particulier du problème (303) dans lequel on prend pour l'une des deux coniques données, l'ensemble des deux droites D, IV.

Corollaire. — Les droites peuvent se confondre en une seule D; et l'on a ce problème à résoudre : Mener par un point Q une conique qui ait deux points de contact as^ec une conique donnée C, sur une droite D.

Ou prend sur une transversale menée par le point Q, et qui coupe la conique donnée en a et a\ et la droite D en i, fe point Q' conjugué de Q dans une involutlon dont a, a' sont deux points conjugués, et b un point double. Le point Q' appartient à la conique demandée.

Remarque, — Si la droite D ne rencontre pas la conique C, la construction subsiste; mais les deux points de contact de C et de la conique construite sont imaginaires,

344. Construire une conique tangente à deux droites imaginaires et passant par trois points dont deux sont aussi imaginaires.

Appelons L, L' les deux droites, S leur point de concours (qui est réel), et a, fe, c les trois points, dont deux é, c, sont imaginaires. Que Ton décrive un cercle tangent aux deux droites L, il. Ce cercle est homologique à laconique cherchée, le point S étant le centre d'homologîe. Les deux droites imaginaires S fe. Se rencontrent le cercle en de : couples de points imaginaires fe', fe'^et c', c"^ situés sur deu^ droites réelles fe'c', fe'^c'^ déterminées (342, I).

La droite Sa rencontre le cercle en deux points a\ a^^

Regardons les trois points a, fe, c de la conique cherché

comme correspondant aux trois points a\ fe', c' du cercle

Pour construire la conique, il suffit de déterminer l'a^c

CHAP. XIII. — CORDES COMM. A DEUX CONIQUES. 227 d'homologie. On counait un point de cet axe, savoir, le point de rencontre des deux droites homologues afe, a'b'. Pour en déterminer un second, on observera que Jes points homologues des deux figures situés sur la droite S ««'forment deux divisions homographiques dont les points doubles sont le point S et le point a où celle droite rencontre l'axe d'homologie. Les deux points rf, d' où cette même droite rencontre les droiles fec, h' c' sont, de même que a, a', deux poinls homologues des deux divisions. Conséquemment on connaîtra le point double a : et Taxe d'homologie sera déterminé. On pourra donc r on si ru ire la conique par points (264).

Faisant correspondre les trois points «, A, c aux trois û', J", {/' dû cercle, on déterminera une seconde conique; puis une troisième, et une quatrième, en faisant correspondre a^b^ c k a", b\ c'; puis à «", fe", c'.

Ce sont les quatre solutions de la question (47).

Cas particuliers. I. — Les deux droiles imaginaires L, L' peuvent être les asymptotes d'un cercle; alors, d'après le théorème (292), on résout ce problème : Construire une conique qui ait un foyer en un point donné, et guipasse par trois points dont deux sont imaginaires.

n. — Si les deux points imaginaires i, e sont situés à l'infini, sur une conique donnée, la question peut prendre cet énoncé : Construire une conique homothétique à une conque donnée (*), tangente à deux droites imaginaires et passant par un point donné.

(*)Foir ci-après (374).