CHAPITRE XIV

DES POINTS DE CONCOURS DES TANGENTES COMMUNES A DEUX CONIQUES, OU POINTS OMRIUCAUX.

§ L — Points ombilicaux de deux coniques.

345. Le point d^intersection de deux taugentes ( réelle ou imaginaires) communes à deux coniques peut être con sidéré comme Tun des sommets, ou des points de concour. de deux côtés opposés, du quadrilatère circ(Tnsciit auû deux coniques.

La dénomination de point d'intersection de deux tan gentes (réelles ou imaginaires) communes à deux conique est longue et serait d'un usage incommode dans le discours celle de sommet ou point de concours des cotés opposés di quadrilatère circonscrit aux deux coniques, outre le défau aussi de la longueur, aurait encore Tinconvénient d'impli quer l'idée d'un quadrilatère complet, bien qu'imaginair le plus souvent, quand on peut n'avojr à considérer qu'ui seul point de ce quadrilatère. Il nous paraît donc nécessair de substituer à ces dénominations une expression plus si do pie*, et nous appellerons le point dont il s'agit, ombih ou point ombilical des deux coniques. Le mot ombilic servi pendant longtemps pour désigner les foyers (*)

(*) Voit". G. Mydorce, (.on/coni/M libri quatuor prior es. Varisiïs, l64i,in-fol. Umbîlicos hjperholarum et eWpsium dicimus, puncta. . .; p. 8, 64-68, 76.-- J. DE WiTT, Elementa curvarum iinearumy etc. Amstelaedami, 1669, în-4° Si... ad utrumque Umhilicum reclœ ducantur , . . ; p. 293-294, 3oi'3o3. - De la Hire, Sectiones conicœ. . . Parisiis, i685, in fol. : Neoterici geomeis rMBiLicm, et FoccM taie punctum {in Parabola) vocitaverunt ; p. 177.-

CHAP. XIV. —OMBILICS DE DEUX CONIQUES. ^29 et puisqu'il n'a plus celle sigiiificalion, on peut lui donner une acception difrérenle. Au surplus on reconnaîtra dans ce qui suit qu'il était indispensable de dénommer les points dont il s'agit par un mot unique (*).

346. La propriété suivante suffit à dislinguer un point ombilical, ou point de concours de deux tangentes (réelles ou imaginaires) communes à deux coniques : Toute droite menée par ce point a ses pâles, relatifs aux deux coni- (fues, situés sur une seconde droite qui passe par le point ^ en d'autres termes : Les systèmes de deux droites conjuguées autour d*un point ombilical^ soiit les mêmes dans les deux coniques.

Et réciproquement : S'il existe un point tel, que tous les systèmes de deux droites conjuguées autour de ce point soient les mêmes dans deux coniques [auquel cas il suffit (jue cela ait lieu pour deux systèmes), ce point est un omhilic ou point de concours de deux tangentes communes (lux deux coniques.

Cela est évident, d'après la déGnition des droites conju-

Jac. MiLMES, Srciionum coinc/irum EUmcula..,, éd. 3«. Oxoniae, 1733 : Punctii B> F, Veterihus Puncta ex comparatione, Neotericis Foci seu Umbilici appela intur; p. go. ~ Ecler, //if/oJuc/io in Ànalfsin înfiniloruntf lib. 2**"*: Vocanlur ^t» puncta Foci seu Umbilici seciionis conicœ; p. 63.

(*) Le point do rencontre de deux tan(;cntes communes à deux coniqaespeut être parfois un centre d'homologie des deux courbes, et a été ainsi nommé par M. Poncelet ( Trai/c des Propriétés projfctiv'esy p. 164 ). Mais celte propriété n'est pas générale, c*est-à>dire qu'elle n'appartient pas à tous les points de rencontre des tangentes communes; il faut, pour qu'il y ait homol<^e, quQ les deux coniques soient comprises dans le même angle des deux Uogentes ou dans deux angles opposés au sommet. Par exemple, des six points <Io rencontre des quatre tangentes communes à deux cercles, il n'y en a que deux qui soient des centres d'homologie. De plus, l'idée d'homologie împli- <lQe la considération des cordes communes (qui sont les axes d'homologie), ^^ ne se rattache pas à une simple et primordiale propriété des tangentes '^nimunes à deux coniques. Enfin elle ne s'élend pas aux coniques sphé- '*<lues pour lesquelles il nous faudrait créer une expression différente.

23o TRAITÉ DES SECTIONS COINIQUES.

guées (107), puisque les taugentes aux deux coniques issue

du point ombilical sont les mêmes.

347. La droite qui joint deux points ombilicaux com niuns à deux coniques y a le même pôle dans les dem courbes.

En effet, si les deux pôles étaient différents, ils seraîen sur une droile qui devrait passer tout à la fois par les deu: ombilics. Ce qui n'est pas possible.

Réciproquement : Quand une droite a le même pôl dans deux coniques, cette droite passe par deux des point ombilicaux de ces courbes, et représente une conique infi niment aplatie qui a ses deux sommets en ces points^ et qu satisfait à la condition d'être inscrite dans le quadrilatèr circonscjit aux deux coniques proposées ,

Quand ces points sont imaginaires, on peut regarde la droite comme une hyperbole infiniment oui^erte, don Paxetransv^erse est nul, dont les deux branches coïnciden a^ec la droite, et qui satisfait auisi à la condition d'êtr iïiscn'te dans le quadrilatère (imaginaire) circonscnt au: deux coniques.

En effet, soit L la droile qui a le même pôle P dans le deux coniques C, C : cherchons la conique tangente à cetl droite et inscrite dans le quadrilatère circonscrit à C et C Pour déterminer les tangentes à cette courbe, on mène.pa un point m de la droite L les tangentes à CetC, puis 1 droite qui fait avec ces couples de tangentes et L une involu tion : celle droite est tangente à la conique cherchée (316] Or ici celte droile se confond avec L : car les deux droites 1 et ///Psont conjuguées relativement aux deux coniques, pa conséquent sont les rayons doubles de rinvolutioa détei minée par les deux couples de tangentes menées du point m Donc tout point de L peut être considéré comme Tintersec tion de deux tangen tes à une conique , qui se confonden avec trxjlW tlroue.

CHAP. XIV. — OMBILICS DE DFXX CO^ilQUES. î>3i Gïla prouve que cette droite représente une conique iu- Gnimcnl aplatie inscrite dans le quadrilatère circonscrit auideux coniques proposées, c'est-à-dire une diagonale du quadrilatère, comme nous Tavons déjà vu (317). Les àevrs sommels, extrcmiti^ de celte diagonale, sont les ombilics des deux coniques.

Lorsque ces points sont imaginaires, on peut dire encore que la conique infiniment aplatie, représentée par la droite, est une hyperbole infiniment ouverte, dont Taxe transverse est nul et dont les deux sommets sont imaginaires.

348. Quand deux coniques ont une tangente commune réelle^ si on les transforme par la méthode des polaires en deux autres (252), cidlcs-ci ont un point commun réel, et par conséquent un second point commun pareilleinenl réel (331 ); donc les deux premières coniques ont une seconde tangente commune réelle. Ainsi : Quand deux coniques ont une tangente commune réelle, elles en ont nécessairement une seconde aussi réelle.

349. Le point de rencontre des deux tangentes est un ombilic des deux coniques ; conséqucmment les deux courbes ont un second ombilic (318). Ainsi : Lorsque deux coniques ont une tangente commune ré'elle, elles ont toujours deux ombdics réels, dont lun est situé sur cette tangente.

Siles deux coniques sont tangentes entre elles, le point de contact est un ombilic, et elles en ont toujours un second qui est l'intersection de deux tangentes communes (réelles ou imaginaires). La droite qui joint ces deux points représente une conique infiniment aplatie inscrite dans le quadrilatère circonscrit aux deux coniques (347).

Observation. — Aux propositions concernant les points dmtersection et les cordes communes de deux coniques, correspondent, comme corrélatiics ou polaires réciproques.

des propositions concernant les tangentes communes et les points ombilicaux (chap. IX, § P*^), Nous nous bornerons à énoncer ces propositions sans les démontrer directement, et en indiquant seulement celles auxquelles elles correspondent.

350. I. — Quand deux coniques ont quatre tangentes communes réelles, elles ont trois couples de points ombilicaux (333, I).

II. — Quand deux coniques ont deux tangentes communes réelles et deux tajigentes communes imaginaires y elles nont que deux points ombilicaux (333, H).

351 . Etant données deux coniques, il existe, en général, trois droites L, L', U\ dont chacune a le même pâle dans les deux courbes. Une de ces droites est toujours réelle ^ les deux autres peus^ent être imaginaires.

Concevons qu'autour d'un point Q on fasse tourner une transversale ; la droite qui joindra ses pôles dans les deux, coniques données C, C enveloppera une conique 2 (324). Pour un autre point Q', on aura une autre conique 27. Ces deux courbes ont une tangente commune, connue a priori, c'est la droite qui joint les pôles de QQ'. I^-es trois autres tangentes communes, dont une sera toujoui'S réelle (348), sont les trois droites dont chacune a le même pôle dans les deux coniques C, C.

Remarque. — La proposition actuelle ne diffère point au fond de la proposition (333), dont elle est d'ailleurs la corrélative. Nous en indiquons ici la démonstration directe, parce qu'elle implique une nouvelle construction des trois droites L, L\ IJ\

352. Quand les quatre tangentes communes à deux coniques sont réelles, les trois droites L, L', L'^, dont chacune a le même pôle dans les deux courbes, sont réelles 5 car

CBAP. XIV. — OMBILICS DE DEUX CONIQUES. 233 ces droites sont les diagonales et la droite qui joint les points de concours des côtés opposés du quadrilatère circonscrit aux deux courbes.

Mais quand les deux coniques n'ont que deux tangentes communes réelles, une des trois droites L, L', V^ est réelle, elles deux autres sont imaginaires (336).

353. Quand deux coniques n'ont aucune tangente . commune réelle, les trois droites L, L', L" sont réelles (337).

354. Quand deux coniques ont un point de contact, la tangente L, qui leur est commune en ce point, a le même pôle dans les courbes : c*est le point de contact-, et il n'existe qu'une autre droite L' ayant aussi le même pôle; cette droite passe par le point de contact (338).

355. Veux coniques ont toujours- un sj sterne de deux ombilics réels, *quoiqu^ elles puissent n^a^oir auciuie tangente commune réelle (339).

356. Des énoncés qui précèdent, on peut, au point de vue du quadrilatère circonscrit, faire le résumé suivant.

■ Le quadrilatère circonscrit à deux coniques a toujours deux sommets réels. Les deux autres sommets peuvent être imaginaire», et alors les deux points de concours des côtés opposés le sont aussi. Le point d'intersection des deux droites sur lesquelles se trouvent, respectivement, ces deux sommets et ces deux points de concours est toujours réel. Mais les deux droites peuvent être réelles ou imagiriaires : elles sont réelles, quand les coniques n'ont aucune tangente commune, et imaginaires, quand les deux coniques ont deux tangentes communes réelles.

Lorsque les deux coniques ont quatre tangentes communes réelles, toutes les parties du quadrilatère circonscrit 50ut réelles.

§ IL — Construction des points ombilicaux.

357. Étant données deux coniques, déterminer les ombilics, ou points de concours de leurs tangentes communes.

1° On cherche les trois droites L, L', \J\ dont chacune a le même pôle dans les deux coniques *, ce qui se fait au noioyen de deux autres coniques que Pou construit (351). Celles-ci ont une tangente commune connue à priori 5 et leurs trois autres tangentes communes sont les trois droites cherchées (351).

On peut aussi déterminer, comme précédemment (335), les trois points dont chacun a la même polaire dans les deus coniques proposées. Les polaires de ces points sont les droites cherchées.

2P II existe sur chacune de ces droites deux ombilics, réels ou imaginaires (347)". Néanmoins un des trois couples d'om bîlîcs est toujours réel (355), de même qu'un des trois couples de cordes communes à deux coniques est toujours réel.

3*^ Pour construire les deux ombilics S, S' situés sui Tune des trois droites, L, on mène une droite D arbitrairement, et la droite D' qui joint les pôles de D dans les déuî coniques. Ces droites D, D' coupent L en deux points /i, d' Le pôle de D relatif à la conique infiniment aplatie représentée par la droite SS' est le conjugué harmonique de d pai rapport aux deux points S, S'. Ce pôle est situé sur D' (323) c'est donc le point d'. Ainsi, les deux points d^ d' sont con jugués harmoniques par rapport aux deux points cherché S, S'. On construit de même, avec une autre droite Di deux autres points J,, d\ conjugués liarmoniques par rap port à S et S'. Dès lors ces deux points sont déterminés.

4*^ Si une seule des trois droites L, 17, L", est réelle, le deux points S, S' déterminés sur cette droite sont les deu seuls ombilics communs aux deux courbes.

CHAP. XIV. — OMBIUCS DE DEUX CONIQUES. a35 5** Si les trois droites sont réelles, on cherche sur chacune d'elles les deux ombilics (réels ou imaginaires) qui s'y trouvent.

Cas particuliers et conséquences i\u problème.

358. I. — Uune des deux coniques données est une droite L limitée à deux points imaginaires.

Cette droite est l'une des trois L, L', U', dont chacune a le même pôle dans les deux coniques. On détermine les deux autres, au moyen des deux points de L conjugués par rapport à la conique donnée et par rapport aux deux points imaginaires donnés. Ces deux points, ainsi déterminés, appartieuoentaux deux droites L', L", qui d'ailleurs passent par le pôle de la droite donnée L dans la conique.

Puis, on cherche sur chacune des deux droites L', \J' les ombilics qui s'y trouvent (3o7, 3°), dont deux sont réels et les deux autres imaginaires.

Observation. — Ce problème revient à celui-ci, sous un autre énoncé : Étant donnés les deux points de concours imaginaires des côtés opposés d'un quadrilatère circonscrit à une conique, déterminer les diagonales du quadrilatère et ses deux sommets réels (336).

n. — La droite donnée est tangente à la conique»

La question peut prendre cet énoncé :

Etant donnés une conique et deux points, réels ou imaginaires, situés sur une de ses tangentes, on demande de ^'onstnure le point dUnlcrsection des tangentes [réelles OH imaginaires) qui passent par les deux points donnés.

Soit a le point de contact de la tangente sur laquelle sont donnés deux points s et g, réels ou imaginaires 5 on prend le conjugué harmonique a^ de a^ par rapport aux deux points e et cf ^ et par ce point a/ on mène à la conique la tangente rt'i, dont b est le point de contact. La droite ah a le ^ême pôle a^ dans la conique proposée et dans celle qui

!i36 TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES,

est représentée par la droite eo. Par conséquent, l'ombilic cherché, au point de concours des deux tangentes qui partent de e et o, se trouve sur la droite ab.

Pour déterminer ce point on mène une droite quelconque D, et on construit ses pôles relatifs à la conique et au segment eo. On joint ces pôles par une droite D'. Ces deux droites rencontrent ab en deux points rf, d' -^ et le point cherché est le conjugué harmonique du point a par rapport k d ei d' , Dès lors ce point est déterminé.

III. — Les deux coniques sont deux droites terminées chacune à deux points réels ou imaginaires .

On cherche la droite qui a le même pôle dans les deux coniques. C'est la droite L qui joint les conjugués harmoniques du point d'intersection des deux droites proposées par rapport aux deux couples de points donnés sur ces droites.

Pour construire les deux points cherchés sur la droite L, on mène une transversale et la droite qui joint ses pôles dans les deux coniques : ces deux droites rencontrent la droite L en deux points. Ou obtient un second couple de points semblables, à Taide d'une autre transversale : et les points doubles de Tinvolutioii déterminée par ces deux couples de points sont les points cherchés.

Observation. — La question peut prendre cet énoncé :

Etant donnés sur deux droites les sommets^ réels ou imaginaires, d'un quadrilatère^ tromperies points decon^ cours des côtés opposés.

359. Ces considérations serviront à résoudre la question suivante, corrélative de (344).

Construire une conique qui passe par deux points imaginaires et soit tangente à trois droites dont deux sont

\si iinaginaires .